D)), l'une traverse le triangle T, l'autre lui reste extérieure. Achevons le parallélogramme dont notre triangle est la moitié et partageons-le de nouveau en deux triangles en menant la seconde diagonale; de ces deux nouveaux triangles, un, et un seulement, sera traversé par l'une des droites y = +-x*(sqrt(D)). Ce triangle représentera la réduite contiguë à celle que représentait le triangle T. En poursuivant indéfiniment de la sorte, on trouve une série de triangles qui représentent la réduction continuelle de la. forme envisagée.
0n peut, au lieu des droites y = +-x*(sqrt(D)), considérer deux droites quelconques passant par l'origine. On trouve ainsi, en appliquant les mêmes procédés à ces deux droites, une représentation géométrique des réduites successives d'une fraction continue. On est naturellement conduit à une généralisation immédiate. Passons, en effet, du plan à l'espace, remplaçons le réseau par un assemblage à la Bravais et, au lieu de deux droites, faisons-en passer trois par l'origine. Les mêmes considérations seront applicables, et l'on sera ainsi amené à une généralisation des fractions continues, à laquelle j'ai consacré une Note (50), mais qui, malheureusement, ne donne pas une approximation très rapide.
Il me reste, pour terminer l'analyse de mon Mémoire sur les formes quadratiques (78), à signaler deux résultats :
Je retrouve, en poursuivant l'étude de cette représentation géométrique, les lois de la composition des formes démontrées par Gauss.
Enfin, je termine ce Mémoire par l'étude des nombres idéaux, qui ont pour origine les formes quadratiques binaires.
On sait que, lorsqu'on fait subir à une forme algébrique des substitutions linéaires quelconques, certaines fonctions des coefficients demeurent inaltérées : ce sont les invariants. En dehors de ces invariants algébriques, dont l'étude a été poussée très loin, il y a, ainsi que je l'ai démontré (1, 97), d'autres fonctions des coefficients qui sont altérées quand on applique à la forme une substitution à coefficients fractionnaires ou incommensurables, mais qui se reproduisent au contraire quand on lui fait subir une substitution à coefficients entiers.
Ce sont les invariants arithmétiques. Les formes linéaires binaires qui n'ont pas d'invariants algébriques ont, au con traire, des invariants arithmétiques dont l'étude se rattache à la théorie des fonctions elliptiques et à celle des fonctions modulaires et des fonctions fuchsiennes. Ces invariants peuvent être utilisés pour la solution des deux problèmes suivants :
- 1) Trouver le plus petit nombre représenté par une forme quadratique binaire indéfinie ;
- 2) Reconnaître si deux formes quadratiques binaires indéfinies sont équivalentes.
