gnes et les n premières colonnes de ce tableau, et l'on fera croître ainsi n indéfiniment. Il convient de supposer
a(n,n) = 1.
On doit alors se demander à quelle condition un pareil déterminant converge.
J'ai trouvé pour ces déterminants une règle de convergence qui présente la plus grande analogie avec la règle relative aux produits infinis.
XIV. - Arithmétique.
Mes recherches arithmétiques ont exclusivement porté sur la théorie des formes. Je vais commencer par exposer les résultats que j'ai obtenus au sujet des formes quadratiques.
On sait (78) qu'on représente la forme quadratique définie
a*(x^2) + 2*b*x*y + c*(y^2), D = b^2 - a*c < 0,
par un réseau de parallélogrammes dont les sommets ont pour coordonnées
x*(sqrt(a)) + y*(b/(sqrt(a))), y*(sqrt(-D/a)),
ou bien encore
a*x + b*y, y*(sqrt(-D)).
Ce mode de représentation ne peut pas s'étendre aux formes indéfinies. Je représente alors la forme quadratique par le réseau dont les sommets ont pour coordonnées
a*x + b*y, y,
mode de représentation qui s'applique à la fois aux formes définies et indéfinies. Je reconnus d'abord que les réseaux de parallélogrammes jouissent de propriétés analogues à celles des nombres, et j'ai esquissé une arithmétique des réseaux où l'on trouve des théories analogues à celles de la divisibilité, des plus grands communs diviseurs et des plus petits communs multiples et même des nombres premiers.
Ma manière de représenter les formes indéfinies me conduit à une définition nouvelle de la réduction de ces formes. L'unique condition de réduction, c'est que les coefficients extrêmes doivent être de signe contraire. Avec cette définition, la réduction continuelle d'une forme indéfinie est susceptible d'une interprétation géométrique très simple. Je représente une forme par un certain triangle T qui n'est autre, d'ailleurs, que le triangle fondamental de notre réseau de parallélogrammes. Si la forme est réduite, des deux droites y = +-x*(sqrt(
