C'est cette étude que j'ai entreprise dans deux courtes Notes insérées au Bulletin de la Société mathématique de France (88, 90). Je suis parvenu à démontrer rigoureusement que les équations considérées par MM. Appell et Hill admettent effectivement les solutions trouvées par ces auteurs. Mais elles en admettent en même temps une infinité d'autres; elles ne suffisent donc pas pour déterminer les inconnues. M. Appell, de même que M. Hill, cherchait à calculer les coefficients d'une série. Or ces coefficients ne devaient pas seulement satisfaire aux équations envisagées, ils devaient encore être tels que la série fût convergente. Or, parmi les solutions en nombre infini qui admettent ces équations, il se trouve qu'une seule remplit cette seconde condition, et c'est précisément celle des auteurs que je viens de citer.
C'est cette circonstance qui explique le succès obtenu par ces deux savants géomètres; leur méthode est maintenant à l'abri de toute objection; mais il est aisé de voir que les considérations qu'ils ont invoquées ne suffisaient pas pour la justifier.
Je vais maintenant parler des procédés qui m'ont fait parvenir à ces résultats. J'ai commencé par m'occuper du cas particulier où
a(n,p) = ((a(n))^(p)),
et j'ai reconnu que la solution du problème dépendait de la décomposition de la fonction méromorphe
1/(f(z)),
en fractions simples, en appelant f(z) la fonction entière transcendante qui admet pour zéros les nombres a(n).
J'ai reconnu également qu'on peut faire usage de considérations analogues dans le cas général.
Enfin, j'ai rencontré un fait réellement inattendu et tout à fait particulier à cette théorie. Les égalités à traiter
Sigma(a(n,p)*x(n)) = 0,
qui sont en nombre infini, peuvent être remplacées par une infinité d'inégalités. Il suffit, en effet, pour que les nombres x(n) satisfassent à ces équations, que certaines séries qui en dépendent soient absolument convergentes.
Dans l'étude de cette question, on est naturellement conduit à considérer des déterminants d'ordre infini. A cet effet, on écrira le tableau à double entrée des quantités a(n,p) on formera un déterminant avec les n premières li
