Je désignerai le terme général de ce tableau par la notation
a(n,p) (n,p = 1, 2, ..., infini).
Le problème à résoudre consiste à dé terminer une infinité de nombres
x(1), x(2), ..., x(n), ...,
de telle façon que les séries
S(p) = Sigma(n = 1...infini)(a(n,p)*x(n)) (p = 1, 2, ..., infini),
soient absolument convergentes et aient pour somme 0.
Ces équations linéaires, que l'on peut écrire
Sigma(n)(a(n,p)*x(n)) = 0,
se rencontrent en particulier dans les circonstances suivantes :
- 1) Quand on cherche le quotient de deux séries trigonométriques;
- 2) Quand, ayant à intégrer une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des séries trigonométriques, on cherche à y satisfaire par une autre série trigonométrique.
Ce dernier problème se rencontre souvent en Mécanique céleste. Jusqu'à ces derniers temps, on ne s'était pas préoccupé de savoir à quelles conditions les règles ordinaires du calcul pouvaient être appliquées à de semblables équations. Cependant deux savants, ayant rencontré ce même problème dans d&x ordres de recherches très différents, n'ont pas hésité à employer les règles de l'Algèbre ordinaire.
L'un d'eux est M. Appell, qui est arrivé à des équations de la forme que nous étudions en cherchant à développer les fonctions elliptiques en séries trigonométriques. Les traitant d'après les règles du fini, il est parvenu à des formules qui concordent avec les résultats bien connus où conduisent les autres méthodes. D'un autre côté, M. Hill, en voulant déterminer le mouvement du périgée de la Lune, a appliqué aussi au problème qui nous occupe les procédés ordinaires de l'Algèbre. Cependant, le nombre auquel il arrive diffère très peu du nombre observé, et la faible divergence qui subsiste provient simplement de l'inclinaison de l'orbite que M. Hill avait négligée.
La hardiesse de M. Appell et celle de M. Hill avaient donc été également heureuses; mais elles n'étaient justifiées que par le succès. Néanmoins ce succès lui-même devait faire désirer une étude rationnelle de la question.
