reconnu que ces formes satisfont à un certain nombre d'équations aux dérivées partielles formant un "système complet". Les plus simples des groupes continus en question jouissent de quelques propriétés que je vais énoncer succinctement.
Si l'on forme le déterminant des coefficients d'une substitution linéaire à n variables, qu'on ajoute + S à chacun des termes de la diagonale principale, et qu'on égale à 0 le déterminant ainsi obtenu, on a une certaine équation en S de degré n.
Un groupe continu contient toujours une infinité de faisceaux; on démontre que, s'il y a dans le groupe une substitution admettant une certaine équation en S, il y aura dans tous les faisceaux du groupe une substitution admettant cette même équation en S.
Parmi les groupes continus dont je viens de parler, les plus intéressants sont ceux qui donnent naissance à un système de nombres complexes à multiplication non commutative (comme sont, par exemple, les quaternions). J'ai démontré que toutes les équations en S des substitutions de ces groupes ont des racines multiples.
Je suis revenu depuis sur ces groupes particuliers (48). Les recherches de M. Sylvester sur les matrices avaient de nouveau attiré l'attention des savants sur les nombres complexes. On pouvait se demander s'il en existait d'autres que ces matrices et leurs combinaisons. J'ai montré qu'il y en avait encore d'autres classes parmi lesquelles j'ai signalé une classe de "ternions".
Je rattacherai à ces études algébriques une Note (41) où j'énonce un résultat analogue à un important théorème de M. Laguerre. Soit une équation algébrique ayant p racines positives; j'ai démontré qu'on pouvait toujours en multiplier le premier membre par un polynôme choisi de telle sorte que le produit n'ait que p variations. Parmi tous les polynômes qui satisfont à cette condition, il y en a évidemment un dont le degré est minimum; mais je n'ai pu le trouver que dans des cas particuliers.
XIII. - Algèbre de l'infini.
J'ai été conduit par diverses considérations à une généralisation de la théorie des déterminants et des procédés par lesquels on résout n équations linéaires à n inconnues.
Dans certaines questions d'Analyse on est conduit à envisager un système de relations que l'on peut regarder comme une infinité d'équations linéaires à une infinité d'inconnues.
Soit un système de nombres donnés formant un tableau infini à double entrée.
