- TROISIÈME PARTIE.
- ALGEBRE ET ARITHMETIQUE.
XII. - Algèbre.
C'est par un problème d'Arithmétique que j'ai été conduit à m'occuper d'Algèbre. La théorie des formes arithmétiques et des substitutions linéaires à coefficients entiers appliqués à ces formes est en effet intimement liée à l'étude algébrique de ces mêmes formes et des substitutions linéaires à coefficients quelconques qu'elles peuvent subir.
C'est ainsi que j'ai été amené, à deux reprises différentes, à rechercher quelles sont les formes algébriques qui ne sont pas altérées par une substitution linéaire donnée et quels sont les groupes continus formés par ces substitutions. Après avoir classé (3,79) les substitutions linéaires en quatre catégories jouissant de propriétés différentes, j'ai cherché quelles étaient les formes cubiques ternaires et quaternaires qui sont reproduites par une substitution linéaire donnée et par un faisceau de substitutions, c'est-à-dire par un groupe de substitutions permutables deux à deux. J'ai résolu également le problème inverse, c'est-à-dire que j'ai déterminé les substitutions qui reproduisent une forme cubique ternaire donnée, ce qui m'était nécessaire pour le but arithmétique que j'avais en vue.
Il restait à trouver les formes cubiques quaternaires qui ne sont pas altérées par diverses substitutions linéaires non permutables entre elles. J'y suis arrivé par une méthode qui est fondée sur l'emploi des "crochets de Jacobi" et dont M. Sophus Lie a fait usage dans des problèmes analogues. La méthode n'était d'ailleurs pas restreinte aux formes cubiques quaternaires et permettait de trouver quelles sont les surfaces qui ne sont pas altérées par deux transformations homologiques non permutables.
Depuis, j'ai étendu ces résultats (38) au cas général de la façon suivante. Ayant indiqué la manière de former les groupes continus contenus dans le groupe linéaire à n variables, j'ai étudié les formes homogènes par rapport à ces variables qui ne sont pas altérées par les substitutions d'un de ces groupes et j'ai
