Tous les groupes antérieurement découverts par M. Picard appartenant à la seconde famille, je signalai alors l'existence de toute une catégorie de groupes de la troisième famille et des fonctions hyper-fuchsiennes correspondantes que plusieurs propriétés importantes distinguaient des fonctions déjà connues. On se trouve ici en présence des mêmes difficultés que dans le problème de la formation des groupes fuchsiens. Il faut d'abord former un groupe tel que la fonction correspondante soit uniforme dans le voisinage de chaque point. Il faut ensuite reconnaître si ce groupe est effectivement discontinu. La première difficulté, bien que très grande, est d'ordre purement algébrique. La seconde exige, pour être résolue, l'emploi de considérations étrangères à l'Algèbre. On peut l'éviter tant que l'on se borne aux groupes de la deuxième et de la troisième famille; il est nécessaire de l'aborder au contraire si l'on veut étudier les groupes de la première famille.
Je l'avais résolue, dans le cas des groupes fuchsiens, par l'emploi de la pseudo-géométrie de Lobatchevski; j'avais reconnu en effet que certaines quantités (analogues à ce que Lobatchevski aurait appelé longueur ou surface) étaient des invariants par rapport aux substitutions d'un groupe fuchsien quelconque.
Je me suis donc demandé si les substitutions hyper-fuchsiennes admettaient de semblables invariants (43). J'ai reconnu qu'il en était ainsi; par conséquent tout groupe, tel que la fonction correspondante soit uniforme dans le voisinage de chaque point, sera discontinu.
La recherche des groupes hyper-fuchsiens est donc ramenée à un pur problème d'Algèbre; mais ce problème reste extrêmement difficile et il n'a été résolu par M. Picard que dans un cas particulier.
