s sont des entiers complexes. La seconde classe ne diffère pas essentiellement des groupes fuchsiens. Si z désigne en effet une variable imaginaire
z = ksi + i*eta,
et si l'on pose
x = (2*ksi)/(1 + ksi^2 + eta^2); y = (2*eta)/(1 + ksi^2 + eta^2);
à tout groupe fuchsien appliqué à z et admettant pour cercle fondamental correspondra un groupe discontinu appliqué aux deux variables x et y. Ce groupe est discontinu lorsque x et y sont imaginaires, ou bien réels, mais de telle façon que
x^2 + y^2 < 1;
il n'est plus proprement discontinu si x et y sont réels et si
x^2 + y^2 > 1;
C'est cette circonstance qui explique ce fait remarquable : qu'il est impossible d'imposer à une forme quadratique binaire indéfinie des conditions de réduction, telles que chaque classe contienne une réduite unique.
Mais les groupes de cette nature sont beaucoup moins importants que les groupes hyper-fuchsiens proprement dits. J'appelle ainsi ceux qui n'altèrent pas l'hyper-sphère
x*x(0) + y*y(0) = 1.
(Je désigne ici par x(0) et y(0) les quantités imaginaires conjuguées de x et de y.)
Cette hypersphère joue dans cette théorie tout à fait le même rôle que le cercle fondamental dans la théorie des fonctions fuchsiennes.
J'ai voulu contribuer à l'étude de ces groupes et j'ai commencé par m'occuper des substitutions elles-mèmes. J'ai reconnu (44) que la classification en substitutions elliptiques, paraboliques et hyperboliques s'étendait aux substitutions hyper-fuchsiennes.
La classification des groupes fuchsiens en familles est également applicable aux groupes hyper-fuchsiens. Si nous laissons de côté les familles mixtes, nous distinguerons les groupes de la première famille qui contiennent des substitutions elliptiques, ceux de la deuxième famille qui n'en contiennent pas d'elliptiques, mais en contiennent de paraboliques, ceux de la troisième famille qui n'en admettent que d'hyperboliques.
