de la variable, on la connaîtra également pour toutes les valeurs incommensurables.
On peut encore se placer à un autre point de vue pour étudier les zéros des fonctions Thêta. Considérons une fonction Thêta de deux variables Thêta(x,y). Soient (alpha,beta), (gamma,delta) deux périodes de cette fonction. Écrivons l'équation où t et u sont des nombres assujettis à rester réels et compris entre 0 et 1. Cette équation ainsi interprétée admettra un certain nombre de solutions. Je serai conduit, par d.es considérations qui ne sauraient trouver place ici, à les distinguer en deux espèces. Soient alors N(1), le nombre des solutions de la première espèce, T(1) la somme des valeurs correspondantes de t , U(1) celle des valeurs de u. Soient N(2), T(2), et U(2), les quantités analogues en ce qui concerne les solutions de la seconde espèce. On peut se proposer de déterminer les nombres N(1) - N(2), T(1) - T(2), U(1) - U(2).
Je suis parvenu par une méthode assez simple (54) à déterminer N(1) - N(2). On obtient ainsi divers renseignements importants au sujet du nombre total des solutions N(1) + N(2). Ce nombre est en effet toujours supérieur à N(1) - N(2) et il est de même parité.
On peut arriver au même résultat par l'emploi des intégrales doubles prises entre des limites imaginaires. J'ai lieu d'espérer de plus que la mème considération pourra conduire à la valeur de T(1) - T(2) et de U(1) - U(2).
XI. - Fonctions hyper-fuchsiennes.
Les fonctions fuchsiennes sont des fonctions uniformes d'une variable, inaltérées par certaines substitutions linéaires. On est naturellement conduit à se poser le problème suivant : Former des fonctions uniformes de deux variables, qui demeurent inaltérées par certaines substitutions linéaires. C'est, comme on sait, ce que M. Picard a fait avec un plein succès par l'invention des fonctions hyper-fuchsiennes.
Le premier problème à résoudre était évidemment de trouver les groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux variables. M. Picard est parvenu à en former un grand nombre par des considérations arithmétiques. J'ai moi-même (24) démontré l'existence de deux classes de ces groupes. La première classe comprend les substitutions semblables des formes quadratiques ternaires indéfinies quand les coefficients de ces formes et de ces substitution
