a(1), x(2) - a(2), ..., x(n) - a(n)) = Thêta(x(1) - b(1), x(2) - b(2), ..., x(n) - b(n)) = ... = Thêta(x(1) - l(1), x(2) - l(2), ..., x(n) - l(n)) = 0,
où les a, les b, ..., les l sont des constantes données, ont-elles de solutions distinctes?
A l'aide d'une formule de M. Kronecker, j'ai pu démontrer que ce nombre est constant et indépendant des périodes, ainsi que des constantes a, b, ..., l. Il me fut facile ensuite, en envisageant le cas particulier où la fonction Thêta se réduit à un produit de n fonctions thêta elliptiques, de démontrer que ce nombre est précisément 1.2.3...n.
J'appliquai aussi la même méthode à des équations analogues aux équations (1), mais plus compliquées, et je trouvai le nombre des solutions distinctes qu'elles doivent avoir.
Mais il y a plus; dans le cas des fonctions elliptiques, on trouve aisément la valeur de la racine de l'équation
Thêta(x) = 0.
Si l'on a affaire à des équations analogues, mais plus compliquées, on peut encore trouver la somme des racines.
Revenant aux fonctions abéliennes et aux équations (1) , on peut alors se demander (54, 83) s'il est possible de trouver la somme des valeurs de x(1), celle des valeurs de x(2), etc., qui satisfont à ces équations. Ce problème est plus compliqué que le précédent, dans lequel le nombre cherché était une constante; cette circonstance permettait de se restreindre à un cas particulier, et l'on était ainsi immédiatement ramené aux fonctions elliptiques. Il n'en est plus de même ici; les nombres cherchés ne sont plus des constantes, mais des fonctions des périodes.
Toutefois le problème est immédiatement résolu quand on est ramené aux fonctions elliptiques, c'est-à-dire quand on se trouve dans un des cas de réduction étudiés plus haut. Quand, dans le système d'intégrales abéliennes de genre n qui correspondent aux fonctions Thêta envisagées, il y a n intégrales distinctes réductibles aux intégrales elliptiques, il est aisé devoir que les fonctions Thêta abéliennes s'expriment très simplement à l'aide de fonctions thêta elliptiques. On peut alors, par l'application du théorème d'Abel généralisé (cf. VIII) résoudre complètement le problème qui nous occupe.
Le système des périodes d'une fonction Thêta quelconque diffère toujours infiniment peu d'un système de périodes correspondant à un cas de réduction. C'est là une circonstance qui donnera, je n'en doute pas, la clef de bien des problèmes. Elle nous donne en particulier la solution que nous cherchons.
Nous connaissons la somme cherchée des valeurs de x toutes les fois que nous nous trouvons dans un cas de réduction. Or cette somme doit être une fonction continue des périodes ; nous la connaîtrons donc dans tous les cas possibles. C'est ainsi que, si l'on connaît une fonction continue de x pour toutes les valeurs commensurables
