Cette généralisation des fonctions eulériennes est analogue, mais non identique à celle qu'a donnée M. Appell.
Il suffit alors d'exprimer, par une intégrale définie, la première de nos séries partielles, car les autres s'y ramènent aisément. On trouve que cette série partielle s'exprime par une intégrale prise par rapport à z entre les limites 0 et +infini, la fonction sous le signe somme étant rationnelle par rapport à z et à diverses exponentielles de la forme exp(lambda*z). Il est donc possible d'exprimer de la même manière toutes les fonctions doublement périodiques.
J'ai été conduit aussi d'une façon incidente à m'occuper des fonctions elliptiques en les considérant comme des cas particuliers des fonctions fuchsiennes (1). J'ai retrouvé ainsi la plupart des formules connues et, en particulier, l'expression dm fonctions à deux périodes par des séries trigonométriques. J'ai été conduit par la même voie à une formule que je crois nouvelle et qui permet d'exprimer les fonctions elliptiques par une série infinie d'une forme particulière.
X. - Fonctions abéliennes.
La théorie des fonctions abéliennes est loin d'être aussi avancée que celle des fonctions elliptiques. Un grand nombre des propriétés de ces dernières transcendantes ne s'étendent pas ou ne s'étendent que difficilement au cas général. On ne doit pas s'en étonner si l'on se rappelle que beaucoup de propriétés des fonctions d'une variable ne sont plus applicables aux fonctions de plusieurs variables. C'est la même difficulté qui nous a occupés au paragraphe VII.
On a été conduit aux fonctions abéliennes par l'étude des intégrales abéliennes, et un des premiers faits que l'on a remarqués est la possibilité de la réduction de ces intégrales. Jacobi en a déjà rencontré quelques exemples; dans des cas assez nombreux, on voit des intégrales appartenant à une courbe de genre p se réduire à des intégrales de genre inférieur à p ou même à des intégrales elliptiques. Mais on est bientôt amené à se placer à un point de vue plus élevé; les fonctions Thêta, qui doivent leur origine aux intégrales abéliennes de première espèce, ne sont qu'un cas particulier des séries Thêta les plus générales. Mais il est aisé de voir qu'à ces transcendantes plus générales appartiennent des intégrales, qui sont, il est vrai, des intégrales de différentielles totales, mais qui peuvent néanmoins être regardées comme la généralisation des intégrales de première espèce. Il est alors naturel d'appliquer à ces intégrales le procédé de la réduction; le problème primitif reçoit une importante extension; mais, par la suppression d'une restriction gênante, il est simplifié et non compliqué; car on peut
