particulier, des périodes polaires ou, si l'on veut, des résidus des intégrales doubles. M. Picard a étudié ensuite les périodes cycliques.
J'ai envisagé l'intégrale d'une fonction rationnelle que j'ai écrite sous la forme suivante
sum(sum(((f(x,y))*dx*dy)/((phi(x,y))*psi(x,y))),
en décomposant le dénominateur en facteurs irréductibles, et j'ai reconnu que cette intégrale présente trois sortes de périodes :
- 1) Celles de la première sorte sont égales à 2*i*Pi multiplié par l'une des périodes de première espèce de l'intégrale abélienne
sum((f*dx)/(phi*(d(psi)/dy))),
(rapportée à la courbe algébrique psi = 0).
- 2) Celles de la seconde sorte se rapportent aux divers points d'intersection des deux courbes phi = psi = 0 et sont égales à
+-(4*(Pi^2))*((f(x(0),y(0)))/(Delta(x(0),y(0))),
Delta(x,y) étant le déterminant de phi et de psi par rapport à x et à y; et x, et y, étant les coordonnées du point d'intersection.
- 3) Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles de ces deux courbes et ont une expression analogue.
Mais la théorie serait incomplète si l'on se bornait a ces trois sortes de périodes. Il peut arriver que la fonction sous le signe intégral devienne infinie en divers points du contour d'intégration sans que l'intégrale elle-même cesse d'être finie. Cette circonstance ne pouvait pas se produire dans le cas des intégrales simples, lorsque la fonction à intégrer était rationnelle; il n'en est plus de même ici. D'un autre côté, on ne saurait exclure de parti pris les intégrales de cette sorte; car, autant qu'on en peut juger aujourd'hui, elles doivent jouer un rôle important dans les applications.
Or les intégrales de cette nouvelle sorte ont un caractère bien différent de celui des intégrales à périodes. Celles-ci, en effet, ou bien restent constantes quand on fait varier le chemin d'intégration d'une manière continue, ou bien s'accroissent par sauts brusques; celles-là, au contraire, varient d'une façon continue comme le chemin d'intégration lui-même. C'est là la principale différence entre la théorie nouvelle et celle d
