points de détail. Ainsi ce géomètre avait démontré qu'une surface algébrique ne possède d'intégrales abéliennes de différentielles totales de première espèce que dans des cas particuliers.
Je veux dire que, si
f(x, y, z) = 0,
est l'équation d'une surface algébrique définissant z en fonction de x et de y , il n'y aura pas, en général, de différentielle exacte
P*dx + Q*dy,
où P et Q soient rationnels en x, y, z, de telle façon que l'intégrale
sum(P*dx + Q*dy),
reste toujours finie.
Partant de là, j'ai trouvé les conditions pour qu'une surface du quatrième ordre possède de pareilles intégrales. Il faut et il suffit qu'elle soit une surface réglée ou qu'elle se ramène à une surface de révolution par une transformation linéaire. J'ai indiqué également un certain nombre de cas où il n'y a jamais, et d'autres où il y a toujours des intégrales de première espèce.
J'ai reconnu que le théorème d'Abel s'étendait immédiatement aux intégrales de différentielles totales de première espèce; mais il semblait au premier abord qu'il ne serait plus applicable aux surfaces qui ne possèdent pas de pareilles intégrales, c'est-à-dire la grande majorité des surfaces algébriques.
Il n'en était rien. J'ai démontré (52) le théorème suivant :
Si (x(1), y(1), z(1)), (x(2), y(2), z(2)), . . . , (x(q), y(q), z(q)) sont les q points d'intersection d'une surface algébrique S et d'une courbe algébrique C; si (x(1) + dx(1), y(1) + dy(1), z(1) + dz(1)), ... sont les q points d'intersection de cette même surface S avec une courbe C' infiniment peu différente de C, on aura un certain nombre de relations de la forme
X(1)*dx(1) + X(2)*dx(2) +. . . + X(q)*dx(q) = 0,
où X(i) est une fonction rationnelle de x(i), y(i), z(i). Ces relations peuvent être regardées comme la généralisation du théorème d'Abel.
Les difficultés qui s'attachent à l'étude des intégrales doubles et multiples étendues à un domaine imaginaire sont d'une nature différente. Il semble que la théorie des intégrales simples prises entre des limites imaginaires serait d'une exposition beaucoup plus laborieuse si l'on n'avait pour s'y guider une représentation géométrique. On perd ce guide quand on passe aux intégrales doubles; il
