points isolés, mais des multiplicités continues, et ne peuvent par conséquent être envisagés séparément. Aussi les géomètres qui tentaient de généraliser le théorème de M. Weierstrass ont-ils été longtemps arrêtés (31, 66).
J'eus l'idée de tourner la difficulté en généralisant la notion de fonction de deux variables. Soit en effet V + i*W une fonction des variables imaginaires x + i*y et z + i*t. La partie réelle V satisfera à l'équation
(1) Laplacien(V) = (d^2)(V)/d(x^2) + (d^2)(V)/d(y^2) + (d^2)(V)/d(z^2) + (d^2)(V)/d(t^2) = 0,
mais cette condition n'est pas suffisante pour que V soit la partie réelle d'une fonction de nos deux variables. 11 faut en outre que V satisfasse aux relations
(2) (d^2)(V)/d(x^2) + (d^2)(V)/d(y^2) = 0; (d^2)(V)/(dx*dz) + (d^2)(V)/(dy*dt) = 0.
Envisageons maintenant toutes les fonctions V qui satisfont à l'équation (1) sans être assujetties à satisfaire aux équations (2). On pourra alors construire une fonction qui remplira cette unique condition (1) et qui de plus admettra une partie seulement des infinis de la fonction méromorphe donnée sans en admettre d'autres. Cela était impossible au contraire quand cette fonction restait assujettie aux conditions (2).
Pouvant alors considérer séparément les infinis de notre fonction méromorphe, nous n'avons plus qu'à appliquer la méthode même de M. Weierstrass pour construire une fonction exp(V) qui s'annule pour tous les infinis de la fonction méromorphe donnée et telle que V satisfasse à l'équation (1). On peut même en trouver une infinité. Soient en effet V(0) l'une d'elles et G une fonction entière, c'est-à-dire toujours finie, de x, y, z, t, satisfaisant à l'équation Laplacien(G) = 0; toutes les fonctions V(0) + G rempliront, comme la fonction V, elle-même, les conditions énoncées plus haut. Il reste à faire voir que, parmi ces fonctions V(0) + G, il y en a une qui peut être regardée comme la partie réelle d'une fonction de x + i*y et de z + i*t, ce qui veut dire que l'on peut disposer de la fonction entière G, de telle façon que
((d^2)(V(0) + G))/(d(x^2)) + ((d^2)(V(0) + G))/(d(y^2)) = ((d^2)(V(0) + G))/(dx*dz) + (d^2)(V(0) + G)/(dy*dt) = 0.
C'est ce que j'ai fait, démontrant ainsi le théorème suivant :
Si une fonction de deux variables imaginaires est partout méromorphe, elle sera le quotient de deux fonctions entières.
En ce qui concerne les fonctions non uniformes, j'ai contribué à l'étude de
