signalées pour la première fois par M. Weierstrass. J'ai été conduit par deux voies différentes (99) à m'occuper de ces fonctions. En premier lieu les fonctions fuchsiennes et kleinéennes n'existent en général qu'à l'intérieur d'un cercle ou d'un domaine plus compliqué; elles me fournissaient donc un exemple de fonctions à espaces lacunaires. Les résultats de ma thèse inaugurale me conduisaient également à des fonctions présentant des lacunes. Si l'on veut bien en effet se reporter au paragraphe que j'ai intitulé Généralités sur les équations différentielles et à l'équation (4) de ce paragraphe, on verra que cette équation (4) n'a d'intégrale holomorphe que si le polygone convexe, qui contient tous les points représentatifs des différentes racines d'une certaine équation algébrique, ne contient pas l'origine, Cela ne pourrait pas arriver, si l'intégrale holomorphe de l'équation (4), considérée comme fonction des racines de cette équation a&'- brique, n'était une fonction à espace lacunaire.
Cette remarque m'a fait découvrir toute une classe de fonctions présentant des lacunes. Voici quel est leur mode de génération. On pose
phi(x) = Sigma((A(n))/(x - b(n))),
en supposant que la série Sigma(A(n)), soit absolument convergente et que les points b(n) soient intérieurs à un certain domaine D ou situés sur le contour de ce domaine, et cela de telle façon que, si l'on prend sur ce contour un arc quelconque et aussi petit qu'on voudra, il y ait toujours sur cet arc une infinité de points b(n).
La fonction phi(x) est alors une fonction uniforme admettant le domaine D comme espace lacunaire. Comme exemple particulier, j'ai cité la série
phi(x) = Sigma((u^n + v^m +w^p)/(x - ((m*alpha + n*beta + p*gamma)/(m + n + p)))),
où u, v, w sont des constantes données, de module inférieur à 1, où alpha, beta, gamma sont des constantes imaginaires quelconques et où m, n et p peuvent prendre sous le signe Sigma tous les systèmes de valeurs entières et positives.
La fonction phi(x) a alors pour espace lacunaire le triangle (alpha, beta, gamma).
Il importe de se rendre compte de la véritable nature de ces fonctions à espaces lacunaires. Il arrive souvent que les développements en séries, à termes rationnels par exemple, sont convergents à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de ce domaine et ne divergent que sur le contour même du domaine. Les deux parties du plan où la série converge sont alors complètement séparées par une ligne le long de laquelle le développement cesse d'être valable. Doit-on cependant considérer
