- 3) Si A(p) est le coefficient de (x^p) dans le développement de F(x), on a
lim(A(p)*((p!)^(1/(n+1)))) = 0 (pour p = infini).
- 4) Si F(x) est une fonction de genre 0, elle est susceptible d'être représentée par la série d'Abel étudiée par M. Halphen dans le tome X du Bulletin de la Société mathématique de France, et cela quelle que soit la constante beta.
Malheureusement les réciproques de ces propositions ne sont pas vraies. Il est aisé de voir la raison pour laquelle il est impossible de trouver un critère infaillible, donnant les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit du genre n. En effet, la classification des fonctions en genres se rattache très étroitement à la théorie de la convergence des séries.
Pour qu'une fonction dont les zéros sont, par ordre de module croissant,
a(1), a(2), ..., a(p),
soit de genre n, la première condition et la plus importante, c'est que la série
1/((a(1))^(n+1)) + 1/((a(2))^(n+1)) + ... + 1/((a(p))^(n+1)) + ...
soit convergente. Or il n'y a point de critère de la convergence d'une série pouvant s'appliquer à tous les cas. C'est pour cela qu'il n'y a pas non plus de critère permettant de reconnaître dans tous les cas si une fonction est du genre n.
Outre les fonctions entières, la première classe comprend :
- 1) les fonctions qui ont des pôles;
- 2) celles qui ont un nombre fini de points singuliers essentiels;
- 3) celles qui en ont un nombre infini parmi lesquels on peut trouver des points singuliers isolés (j'appelle ainsi les points singuliers autour desquels on peut tracer un cercle assez petit pour ne contenir aucun autre point singulier);
- 4) celles qui ont une ligne singulière;
- 5) celles qui, ayant un nombre infini de points singuliers, mais n'ayant pas de lignes singulières, n'ont cependant pas de points singuliers isolés.
(Les Allemands disent alors que les points singuliers forment eine perfecte Menge.)
J'ai donné, pour la première fois (1), un exemple de fonctions de cette dernière catégorie; ce sont les fonctions fuchsiennes qui existent dans toute l'étendue du plan. En appliquant un théorème de M. Picard, on peut voir en effet que ces fonctions ne peuvent avoir de points singuliers isolés.
(1) Fonctions fuchsiennes (passim).
Passons maintenant à la deuxième classe, celle des fonctions à espaces lacunaires
