- DEUXIEME PARTIE.
- THEORIE DES FONCTIONS.
VI. - Théorie générale des fonctions d'une variable.
La théorie des fonctions d'une seule variable complexe a fait dans ces derniers temps des progrès considérables, grâce aux travaux de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler.
Ces fonctions peuvent se répartir en trois classes :
- 1) fonctions uniformes existant dans toute l'étendue du plan;
- 2) fonctions uniformes à espaces lacunaires, c'est-à-dire n'existant pas dans toute l'étendue du plan;
- 3) fonctions non uniformes.
Parmi les fonctions de la première classe, les plus importantes sont les fonctions entières, c'est-à-dire celles qui peuvent se développer suivant les puissances de x, en séries toujours convergentes. M. Weierstrass a fait voir qu'une pareille fonction peut toujours se décomposer en un produit d'une infinité de facteurs primaires. Un facteur primaire de genre n est le produit (1 - x/a)*(exp(P(x))), P(x) étant un polynôme entier de degré n. Une fonction de genre n est une fonction entière dont tous les facteurs primaires sont de genre n ou de genre inférieur.
Cette classification des fonctions entières en genres soulève un grand nombre de problèmes intéressants. J'ai voulu contribuer (86) à la solution de ces problèmes en étudiant la manière dont une fonction de genre n se comporte à l'infini et la rapidité avec laquelle décroissent les coefficients de son développement suivant les puissances de x. Je suis arrivé ainsi aux résultats suivants :
- 1) Si F(x) est une fonction de genre n et si le module de x croît indéfiniment avec un argument tel que exp(alpha*(x^(n+1))) tende vers 0, le produit (F(x))*(exp(alpha*(x^(n+1)))) tend aussi vers 0.
- 2) L'intégrale
sum(0...infini)(exp((x*z)^(n+1))*(F(z))*dz)
représente une fonction entière de 1/x.
