singuliers, ils se subdivisent en cols, en foyers, en noeuds et en centres et jouissent des mêmes propriétés que les points que j'ai appelés plus haut de ces noms.
Une notion qui joue ici un rôle capital, c'est le genre de la nappe S. Je dirai que cette nappe est de genre 0, si elle est convexe à la façon d'une sphère; de genre 1, si elle présente un trou à la façon d'un tore; de genre 2, si elle présente deux trous, etc.
J'ai démontré une relation très simple entre le genre de cette nappe et le nombre des cols, des foyers et des noeuds qui s'y trouvent. C'est la généralisation d'une relation dont j'ai parlé plus haut et qui s'applique aux équations du premier ordre et du premier degré.
La suite de la discussion est d'ailleurs tout à fait la même que pour les courbes définies par l'équation (1), c'est-à-dire par une équation du premier degré. La nappe S est sillonnée d'une infinité de courbes fermées, qui sont des cycles sans contact ou des cycles limites; il y a toutefois une différence essentielle sur laquelle je désirerais appeler l'attention. Supposons, par exemple, que la nappe S soit un tore et qu'un cercle méridien de ce tore soit un cycle sans contact; contrairement à ce que nous avons remarqué dans le cas des équations du premier degré, rien ne s'oppose à ce qu'une courbe définie par notre équation différentielle vienne couper ce cercle méridien en plusieurs points et même en une infinité de points. Si cela arrive et qu'un point mobile décrive cette courbe en partant d'une position initiale donnée, il finira toujours par revenir dans une position aussi voisine qu'on le voudra de cette position initiale. On pourra donc dire que ce point mobile décrit une trajectoire stable.
Ainsi la stabilité qui, lorsqu'il s'agissait des équations du premier degré, ne se présentait que dans des cas très particuliers, n'est plus une exception quand il s'agit d'équations du degré supérieur.
D'ailleurs les points, en nombre infini, où le point mobile vient successivement rencontrer le cercle méridien, jouissent d'une propriété arithmétique inattendue.
Appelons mu un certain nombre incommensurable; appelons M(i) le point où le point mobile vient rencontrer pour la (i)ème fois le cercle méridien. Cherchons dans quel ordre circulaire ces points M(i) se rencontrent sur ce cercle. Cet ordre sera le même que celui des nombres mu(i) - E(mu(i)).
Passons maintenant (22,76) aux équations du second ordre, que j'écrirai sous la forme suivante
dx/X = dy/Y =
