De ces quatre régions, la deuxième et la troisième contiennent un cycle limite et n'en contiennent qu'un, les deux autres n'en contiennent pas. Il suit de là que si, à l'origine des temps, notre point mobile est à l'intérieur du premier des cercles (2). il ne pourra jamais sortir du second et que, s'il est à l'intérieur du second, il ne pourra jamais sortir du troisième.
Il y a un cas particulier qui mérite de fixer l'attention, bien qu'il ne se présente que très exceptionnellement: c'est celui où toutes les courbes définies par l'équation (1) sont des courbes fermées qui s'enveloppent mutuellement à la façon des courbes de niveau d'un plan topographique. C'est là le seul cas où, pour employer de nouveau une comparaison empruntée à l'astronomie, le point mobile dont il a été question plus haut a une orbite stable. C'est le seul cas, en effet, où l'on ne puisse pas sillonner le plan de cycles sans contact (75).
Pour que ce cas particulier se présente, il faut une infinité de conditions, et l'on pourrait croire d'abord qu'il est impossible de reconnaître si elles sont toutes remplies à la fois. Cela est, au contraire, le plus souvent très facile, et l'on démontre a priori que ces conditions doivent être toutes satisfaites, dans un certain nombre de cas, et, en particulier, quand on a
dX/dx + dY/dy = 0.
J'ai appliqué ces principes à une équation différentielle rencontrée par Delaunay dans la théorie de la Lune.
J'abordai ensuite (49, 75) l'étude des équations du premier ordre et de degré supérieur de la forme suivante
(3) F(x, y, (dy/dx)) = 0,
F désignant un polynôme entier en x, y et (dy/dx). Pour étudier plus facilement cette équation, j'emploie trois variables auxiliaires ksi, eta, zeta, liées aux variables primitives, de telle façon que x, y et (dy/dx) soient des fonctions rationnelles de ksi, eta et zeta, et je considère ces trois variables comme les coordonnées d'un point dans l'espace. L'équation (3) signifie alors que ce point est situé sur une certaine surface algébrique. J'ai soin de choisir mes nouvelles variables, de telle façon que cette surface n'ait pas de nappes infinies et se réduise à un certain nombre de nappes fermées. J'envisage en particulier une de ces nappes, que j'appelle S. Grâce aux conventions faites, par chaque point non singulier de S passera une courbe définie par l'équation (3) et une seule. Quant aux points
