essentielle entre le cas général et celui des équations linéaires. Les équations linéaires n'ont qu'un nombre fini de points singuliers, tandis que les équations non linéaires en ont en général une infinité. On est donc amené a rechercher s'il n'existe pas d'autres classes d'équations dont les points singuliers soient en nombre fini.
M. Fuchs a publié, dans les Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin, un Mémoire où il expose les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle et, en particulier, pour qu'une équation du premier ordre n'ait qu'un nombre fini de points singuliers. On put croire un instant que l'on était sur la voie d'une nouvelle catégorie de transcendantes uniformes et d'une nouvelle classe d'équations intégrables.
Je fus donc amené à faire un examen plus approfondi de la question (47, 70); mais cet examen m'obligea à renoncer à l'espoir que j'avais conçu. Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fuchs, ou bien se ramènent à l'équation de Riccati et par elle aux équations linéaires, ou bien sont intégrables par les fonctions elliptiques ou algébriques. On n'est donc jamais conduit a une classe réellement nouvelle d'équations intégrables. Peut-être sera-t-on plus heureux quand on passera aux équations d'ordre supérieur, mais cela est encore très douteux (1).
Quoi qu'il en soit, le résultat de M. Fuchs conserve encore son intérêt, puisqu'il nous fait connaître une catégorie d'équations différentielles intégrables algébriquement. Mais, en tout cas, le problème de l'intégration des équations non linéaires ne peut être regardé comme absolu.
V. - Courbes définies par les équations différentielles.
Alors même qu'on parviendrait à faire pour une équation quelconque ce que j'ai fait pour les équations linéaires, c'est-à-dire a trouver des développements des intégrables valables dans toute l'étendue du plan, ce ne serait pas une raison pour laisser de côté les résultats que l'on peut obtenir par d'autres méthodes, car il peut arriver que ces méthodes nous fassent découvrir certaines particularités que les développements ne mettraient pas immédiatement en évidence. C'est ce qui m'a décidé a me placer à un point de vue nouveau et je ne saurais mieux le faire comprendre qu'en reproduisant ce que j'écrivais au moment où je commentais ces recherches (2):
(l) Depuis que j'ai écrit ces lignes, j'ai reconnu que les équations de M. Fuchs se ramènent aux classes déjà connues d'équations intégrables, même lorsqu'elles sont d'ordre supérieur.
(2) Journal de Liouville, 3ème série, t. VII.
