convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment j'ai opéré (23, 76).
Je mets les équations différentielles sous la forme
(dx(1))/(X(1)) = (dx(2))/(X(2)) = ... = (dx(n))/(X(n)),
les X(n) étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours possible. J'introcluis ensuite une variable auxiliaire s définie par l'équation
(dx(1))/(X(1)) = (dx(2))/(X(2)) = ... = (dx(n))/(X(n)) = (ds)/(((X(1))^2) + ((X(2))^2) + ... + ((X(n))^2) + 1).
Je puis alors démontrer que si a est convenablement choisi, les variables x peuvent se développer suivant les puissances croissantes de
(exp(alpha*s) - 1)/(exp(alpha*s) + 1),
et que les développements restent valables pour toutes les valeurs réelles de s.
Si l'on applique ce qui précède au problème des trois corps, on verra que, quand s varie de -infini à +infini, t varie de -infini à +infini, de sorte que les développements restent convergents pour toutes les valeurs réelles du temps. Il n'y aurait d'exception que dans l'hypothèse, assez peu vraisemblable d'ailleurs, où deux corps viendraient se choquer à l'époque t(0), et les développements ne nous apprendraient rien sur ce qui se passerait après l'époque du choc; le problème d'ailleurs ne se pose même pas. Si de plus on suppose que les éléments initiaux aient été choisis de telle sorte que les distances mutuelles restent constamment supérieures à une limite donnée, on peut remplacer la variable auxiliaire s par le temps lui-même et développer suivant les puissances de
(exp(alpha*t) - 1)/(exp(alpha*t) + 1).
Ainsi que je l'ai dit plus haut, je n'ai donné cette solution qu'à titre d'exemple.
Une pareille intégration est d'un caractère bien différent et évidemment beaucoup moins satisfaisante pour l'esprit que l'intégration des équations linéaires par les fonctions fuchsiennes. Aussi y avait-il lieu de se demander si les méthodes qui avaient réussi pour les équations linéaires n'étaient pas applicables à d'autres classes d'équations, quoiqu'elles ne le fussent pas dans le cas général. Un peu de réflexion fait tout de suite comprendre quelle est la différence
