e doit être choisie de telle façon que x soit fonction fuchsienne du rapport z des intégrales de E' et que les intégrales de E soient des fonctions uniformes de z.
Est-il toujours possible de faire ce choix de manière à satisfaire à toutes ces conditions? Telle est la question qui se pose naturellement. Cela revient d'ailleurs à demander si, parmi les équations linéaires qui satisfont à certaines conditions, qu'il est inutile d'énoncer ici, il y a toujours une équation fuchsienne.
Je suis parvenu à démontrer qu'on devait répondre affirmativement à cette question. Je ne puis expliquer ici en quoi consiste la méthode dont nous nous sommes servis d'abord, M. Klein et moi, dans l'étude de divers exemples particuliers; comment M. Klein a cherché à appliquer cette méthode dans le cas général, ni comment j'ai comblé les lacunes qui subsistaient encore dans la démonstration du géomètre allemand, en introduisant une théorie qui a les plus grandes analogies avec celle de la réduction des formes quadratiques (17, 48, 2.5, 26, 68).
Ainsi l'équation auxiliaire E' existera toujours; mais il ne suffit pas de pouvoir démontrer son existence, il faut encore savoir la former. C'est là l'objet de la dernière Partie de mon Mémoire Sur les groupes des équations linéaires. J'ai donné, dans cette dernière Partie, des procédés pour calculer les coefficients de l'équation E', non pas exactement, ce qui est impossible, mais avec une approximation aussi grande que l'on veut.
Si maintenant on considère le rapport z des intégrales de cette équation auxiliaire, x est une fonction fuchsienne de z que j'appelle f(z), et les intégrales de l'équation E sont des fonctions uniformes de z, qui subissent des transformations linéaires lorsque a subit une transformation du groupe, de la même manière que la fonction Z(z) augmente d'une constante quand z augmente d'une période (69). Ces fonctions uniformes jouent pour l'intégration de l'équation E le même rôle que la fonction Z(z) joue pour le calcul des intégrales elliptiques de seconde espèce. C'est pour cette raison que je les ai appelées zêta-fuchsiennes.
Ces fonctions zêta-fuchsiennes sont évidemment susceptibles d'être mises sous la forme du quotient de deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de z. Ces deux séries sont convergentes à l'intérieur du cercle fondamental. Si la fonction f(z) n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental (ce que nous supposons), la variable z ne peut jamais sortir de ce cercle, en sorte que nos deux séries sont toujours convergentes. D'ailleurs, les coefficients de ces séries se calculent aisément par récurrence. A ce point de vue, on peut donc déjà dire que ces développements nous donnent l'intégration complète de l'équation E, puisqu'ils sont toujours valables au lieu d'être limités à un domaine particulier.
Je ne me suis cependant pas contenté de ce résultat, car il est possible de donner des fonctions zêta-fuchsiennes des développements beaucoup plus satisfaisants
