le contraire pourrait avoir lieu e t une surface simplement connexe pourrait, en se recouvrant plusieurs fois elle-même, couvrir une région plane à connexion multiple). Ici la région simplement connexe, recouverte une fois et une seule par notre surface, est la superficie du cercle fondamental.
Il s'agit donc de démontrer qu'en construisant successivement tous nos polygones, comme je l'ai dit plus haut, on ne sortira jamais de ce cercle et qu'o1.i atteindra forcément un point quelconque du cercle. La seconde de ces propositions m'aurait peut-être arrêté longtemps sans l'aide que j'ai trouvée dans une théorie fort différente : je veux parler de la Géométrie non euclidienne. Cette Géométrie, fondée sur l'hypothèse que la somme des angles d'un triangle est plus petite que deux droits, ne semble d'abord qu'un simple jeu [le l'esprit qui n'a d'intérêt que pour le philosophe, sans pouvoir être d'aucune utilité au mathématicien.
Il n'en est rien; les théorèmes de la géométrie de Lobatchevski sont aussi vrais que ceux de la géométrie d'Euclide, à la condition qu'on les interprète comme ils doivent l'être. Ainsi, par exemple, ces théorèmes ne sont pas vrais de la ligne droite, telle que nous la concevons, mais ils le deviennent si, partout où Lobatchevski dit "une droite", nous disons "un cercle qui coupe orthogonalement le cercle fondamental". Je me trouvais donc en présence de toute une théorie, imaginée, il est vrai, dans un but métaphysique, mais dont chaque proposition, convenablement interprétée, me fournissait un théorème applicable à la Géométrie ordinaire. Il se trouva qu'en combinant tous ces théorèmes, j'obtins aisément la solution de la difficulté dont j'ai parlé plus haut.
Je pus ainsi construire tous les groupes discontinus formés de substitutions, n'altérant pas le cercle fondamental, et je les appelai groupes fuchsiens. Mais un problème important se posait : étant donné un groupe fuchsien, existe-t-il des fonctions uniformes inaltérées par les substitutions de ce groupe (65)? C'est ce que j'ai démontré et j'ai donné à ces fonctions le nom de M. Fuchs. Pour arriver à ce résultat, il eût été possible, dans certains cas particuliers, d'appliquer la proposition connue sous le nom de principe de Dirichlet, si souvent appliquée par Riemann et démontrée plus récemment par M. Schwarz.
Je ne connaissais pas ce principe à cette époque, mais l'eussé-je connu, que je ne m'en serais pas servi; car il ne pouvait me donner la solution du problème que dans certains cas particuliers et, même dans ces cas,il pouvait servir à démontrer l'existence de la fonction, mais il n'en donnait pas le développement analytique. C'est encore à 1'analogie avec les fonctions elliptiques que j'ai dû faire appel.
On sait que ces fonctions peuvent être regardées comme le quotient de deux transcendantes, non plus seulement uniformes, mais encore entières, et que l'on appelle les séries thêta. Les fonctions ne sont plus doublement périodiques, mais
