lement conduit à m'attaquer d'abord aux équations linéaires. Ces équations, en effet, qui ont été dans ces derniers temps l'objet des travaux de MM. Fuchs, Thomé, Frobenius, Schwarz, Klein et Halphen, étaient les mieux connues de toutes; on possédait depuis longtemps les développements de leurs intégrales dans le voisinage d'un point donné et, dans un assez grand nombre de cas, on était parvenu à les intégrer complètement à l'aide des fonctions anciennement connues. C'était donc en en abordant l'étude que j'avais le plus de chances d'arriver à un résultat.
Mais il était nécessaire de plus de faire une hypothèse au sujet des coefficients des équations que je voulais étudier. Si j'avais pris, en effet, pour coefficients des fonctions quelconques, j'aurais obtenu également pour les intégrales des fonctions quelconques et, par conséquent, je n'aurais pu dire quelque chose de précis au sujet de la nature de ces intégrales, ce qui était mon but. J'étais donc conduit à examiner les équations linéaires à coefficients rationnels et algébriques. Je supposerai, pour simplifier un peu l'exposé qui va suivre, que les coefficients sont rationnels.
Voici maintenant la classification que j'ai adoptée pour ces équations linéaires et qui est la plus naturelle au point de vue du problème que nous voulons résoudre (27, 69). Soit y une intégrale d'une équation linéaire d'ordre n à coefficient rationnels. Posons
(5) z = exp(sum(lambda*dx))*(F(n-1)*((d^(n-1)(y))/(d(x^(n-1)))) + (d^(n-2)(y))/(d(x^(n-2)))) + ... + F(1)*(dy/dx) + F(0)*y),
lambda et les F étant des fonctions rationnelles de x. Il est clair que z satisfera comme y à une équation linéaire d'ordre n à coefficients rationnels. Je dirai que ces deux équations appartiennent à la même famille. On voit aisément, en effet, que la connaissance des propriétés de la fonction y entraîne celle des propriétés de la fonction z.
Il y a dans chaque famille une infinité d'équations différentes, mais certaines fonctions des coefficients ont même valeur pour les équations d'une même famille; en d'autres termes, il y a, comme je l'ai montré dans ma Note du 22 mai 1882, des invariants qui demeurent inaltérés par la substitution représentée par l'équation (5). Ces invariants ne sont pas les mêmes que ceux de M. Halphen. Ce savant géomètre envisage la transformation qui consiste à remplacer x par une fonction quelconque de x' et à multiplier y par une autre fonction quelconque de x'. Au contraire, les fonctions qui entrent dans ma substitution (5) ne sont pas quelconques, mais rationnelles. Rien ne saurait mieux faire comprendre la différence du point de vue de M. Halphen et du mien. M. Halphen
