J'ai voulu ensuite (63) étudier du même point de vue les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Cauchy et Mme Kowalevski nous avaient appris comment on peut développer en séries les intégrales de ces équations dans le voisinage d'un point ordinaire. Il restait à étudier ces intégrales dans le voisinage d'un point singulier, comme l'avaient fait MM. Briot et Bouquet pour les équations différentielles. En abordant ce problème, je rencontrai deux sortes de singularités: les premières accidentelles et spéciales à l'intégrale particulière que l'on envisage, les secondes essentielles et provenant de l'équation aux différences partielles elles-mêmes. Dans le premier cas, je vis aisément que les intégrales satisfont à des équations algébriques, dont les coefficients sont holomorphes par rapport aux variables. Dans le second cas, les difficultés à surmonter étaient plus grandes.
J'ai envisagé d'abord l'équation
(4) X(1)*(dz/d(x(1))) + X(2)*(dz/d(x(2))) + ... + X(n)*(dz/d(x(n))) = lambda*z,
où les x sont des fonctions holomorphes de x(1), x(2), ..., x(n), (quand ces variables sont suffisamment voisines de zéro) et s'annulent avec ces variables.
Pour que cette équation admette une intégrale holomorphe, il faut d'abord que lambda satisfasse à une certaine équation algébrique de degré n; mais cette condition n'est pas suffisante; les racines de cette équation doivent de plus être assujetties à une condition spéciale : le polygone convexe qui contient tous les points du plan qui représentent ces racines ne doit pas contenir l'origine. Si cette condition est remplie, il y a toujours une intégrale holomorphe, et il n'y en a pas, en général, dans le cas contraire. Nous verrons plus loin quelles sont les conséquences de ce fait dans la théorie générale des fonctions.
Considérant ensuite les équations
d(x(1))/(X(1)) = d(x(2))/(X(2)) = ... = d(x(n))/(X(n)),
je reconnus que les intégrales générales de ce système sont de la forme
((T(1))^(lambda(1)))/(K(1)) = ((T(2))^(lambda(2)))/(K(2)) = ... = ((T(n))^(lambda(n)))/(K(n)),
où les T sont des fonctions holomorphes par rapport aux x, où les lambda sont les
