Il devait en être à peu près de même des équations différentielles. Le nombre des équations intégrables par quadratures est extrêmement restreint, et tant qu'on ne s'est pas décidé à étudier les propriétés des intégrales en elles-mêmes, tout ce domaine analytique n'a été qu'une vaste "terra incognita" qui semblait à jamais interdite au géomètre.
C'est Cauchy qui y a pénétré le premier, grâce à l'invention d'une méthode ingénieuse qu'il a appelée calcul des limites. A sa suite, MM. Fuchs, Briot et Bouquet, et Mme Kowalevski ont employé avec succès la même méthode.
Ce sont donc les travaux de ces géomètres qui m'ont servi de point de départ. En présence d'un problème si compliqué, ces divers savants, au lieu d'étudier la manière d'être des intégrales des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles pour toutes les valeurs de la variable, c'est-à-dire dans tout le plan, se sont d'abord occupés de déterminer les propriétés de ces intégrales dans le voisinage d'un point donné. Ils avaient ainsi reconnu que ces propriétés sont très différentes selon qu'il s'agit d'un point ordinaire ou d'un point singulier.
Dans le voisinage d'un point ordinaire, l'équation différentielle peut se mettre sous la forme
(1) dy/dx = f(x,y),
et y peut se développer suivant les puissances de x - x(0).
Dans le voisinage d'un point singulier, l'équation différentielle peut se mettre sous l'une des deux formes
(2) (x - x(0))*dy/dx = f(x,y),
(3) ((x - x(0))^m)*dy/dx = f(x,y),
si elle est du premier ordre ou, sous des formes analogues, si elle est d'un ordre supérieur ou aux dérivées partielles. Dans le cas où l'équation différentielle se met sous la forme (2) (ou sous des formes analogues pour le second ordre ou les ordres supérieurs), MM. Briot et Bouquet avaient signalé certaines propriétés des intégrales, et M. Fuchs en avait donné le développement en séries dans le cas particulier des équations linéaires.
J'ai cherché d'abord à étudier l'équation (2) supposée non linéaire, et à trouver le développement en séries de ses intégrales. J'ai reconnu (77) (1) que ces intégrales peuvent se développer suivant les puissances de (x - x(0)) et de ((x - x(0))^(lambda)), lambda étant une constante facile à déterminer, ou, dans un cas particulier, suivant les puissances de (x - x(0)) et de log(x - x(0)). Le résultat peut d'ailleurs s'étendre aux équations d'ordre supérieur.
(1) Les chiffres placés entre parenthèses renvoient aux numéros de la Bibliographie.
