doit donc encore passer par ce point, lorsqu’elle est devenue horizontale. De plus, le point où elle rencontre le plan du grand cercle parallèle à la projection verticale, point dont la projection horizontale est à la rencontre O des deux droites C D, B A H, et dont on aura la projection verticale t en projetant le point O sur K I ; ce point, dis-je, dans son mouvement autour de la charnière C D, décrit un quart de cercle vertical perpendiculaire à C D, et dont le rayon est la verticale o t ; donc, si on mène par le point O une perpendiculaire à C D, et si sur cette perpendiculaire on porte o t de O en T, le point T sera un de ceux de la droite des contacts, lorsqu’elle est devenue horizontale. Donc, si par les points N et T on mène une droite, ses deux points de rencontre P, Q, avec la circonférence C P D Q, seront les deux points de contact considérés dans le plan vertical abattu.
Pour avoir les projections horizontales des deux mêmes points dans leurs positions naturelles, il faut concevoir que le cercle C P D Q retourne dans sa position primitive en tournant sur la même charnière C D. Dans ce mouvement, les deux points P, Q décriront des quarts de cercle dans des plans verticaux, perpendiculaires à C D, et dont les projections horizontales seront les perpendiculaires P R et Q S, abaissées sur C D. Donc les projections horizontales des deux points de contact seront respectivement sur les droites P R et Q S : or nous avons vu qu’elles devoient être aussi sur C D ; donc elles scrent aux deux points de rencontre R et S.
On aura les projections verticales r, s des deux mêmes points, en projetant les points R et S sur K I ; ou, ce qui revient au même, en portant sur les verticales R r, S s, à partir de l’horizontale b a g, r′ r égale à P R, et s′ s égale à Q S.
Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant construites, on déterminera les traces des deux plans tangens, comme dans la première solution.
Cette seconde solution peut aussi être rendue beaucoup plus concise en faisant passer les plans de projections par le centre de la sphère ; ce qui réduit les deux projections à une même figure.
38. Ces dernières considérations vont nous conduire à la découverte de quelques propriétés remarquables du cercle, de la sphère, des sections coniques, et des surfaces courbes du second degré.
