Si dans le plan perpendiculaire, et par le centre de la sphère, on conçoit une horizontale, dont on aura la projection verticale en menant l’horizontale a h, et dont on aura l’autre projection en abaissant sur E F la perpendiculaire A H ; et si l’on conçoit que le plan perpendiculaire tourne autour de cette horizontale comme charnière, jusqu’à ce qu’il devienne lui-même horizontal ; il est évident que sa section avec la surface de la sphère viendra se confondre avec la circonférence B C D, que les deux points de contact seront alors sur cette circonférence, et que si l’on construisoit le point J, où la rencontre du plan perpendiculaire avec la droite donnée vient s’appliquer par ce mouvement, les tangentes J C, J D, menées au cercle B C D, détermineroient ces deux points de contact dans la position où on les considère alors. Or il est facile de construire le point J, ou, ce qui revient au même, de trouver sa distance au point H : car la projection horizontale de cette distance est G H, et la différence des hauteurs verticales de ses extrémités est g g′ ; donc, si l’on porte G H sur l’horizontale a h de g′ en h, l’hypoténuse h g sera la grandeur de cette distance ; donc, portant g sur E F de H en J, et menant les deux tangentes J C, J D, les deux points de contact C, D, seront déterminés dans la position qu’ils ont pris, lorsque le plan perpendiculaire a été abattu sur le plan horizontal.
Actuellement, pour trouver leurs projections dans la position qu’ils doivent avoir naturellement, il faut concevoir que le plan perpendiculaire retourne à sa position primitive, en tournant encore autour de l’horizontale A H comme charnière, et qu’il entraîne avec lui le point J, les deux tangentes J C, J D, prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent A H en des points K, K′, et la corde C D qui coupera aussi la même droite A H en un point N. Il est évident que, dans ce mouvement, les points K, K′ et N, qui sont sur la charnière, seront fixes, et que les deux points de contact C, D, décriront des arcs de cercle qui seront dans des plans perpendiculaires à la charnière, et dont on aura les projections horizontales, en abaissant des points C, D, sur A H, les perpendiculaires indéfinies C P, D Q. Donc les projections horizontales des deux points de contact se trouveront sur les deux droites C P, D Q. Mais dans le mouvement rétrograde du plan perpendiculaire, les deux tangentes J C K′, J K D, ne cessent pas de passer
