comme seul ; il en résultera seulement qu’on aura les projections verticales d f, e f′, d’autant de droites génératrices, et les projections verticales c, c′, d’autant de points de contact qu’il y aura de points d’intersection entre la droite E F et la trace E P D.
Dans le cas de la figure 12, la trace de la surface cylindrique est une circonférence de cercle qui a la propriété d’être coupée par une droite en deux points : ainsi la verticale élevée par le point donné C doit rencontrer deux fois la surface, d’abord dans un premier point, dont la projection verticale est c, et par lequel passe la génératrice lorsqu’elle s’appuie sur le point D, et ensuite dans un second point, dont la projection verticale est c′, et par laquelle passe la génératrice lorsqu’elle s’appuie sur le point E de la trace. Ces deux points, quoiqu’ils aient la même projection horizontale, sont néanmoins très-distincts, et à chacun d’eux doit répondre un plan tangent particulier. Actuellement, pour chacun des deux points de contact, il faut trouver la deuxième droite qui doit déterminer la position du plan tangent. Si l’on suivoit strictement la méthode générale, en regardant la trace comme une seconde génératrice, il faudroit la concevoir passant successivement par chacun des points de contact, et construire dans chacun de ces points une tangente ; mais, dans le cas particulier des surfaces cylindriques, on peut employer une considération plus simple. En effet, le plan tangent au point C, c touche la surface dans toute l’étendue de la droite génératrice qui passe par ce point ; il la touche donc en D, qui est un point de cette génératrice ; il doit donc passer par la tangente à la trace au point D. Par un semblable raisonnement on trouvera que le plan tangent en C, c′, doit passer par la tangente à la trace en E. Donc, si par les deux points D, E, on mène à la trace les deux tangentes D K, E G, prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent la droite L M en deux points K, G on aura sur le plan horizontal les traces des deux plans tangens.
Il ne reste donc plus à trouver que les traces des mêmes plans sur le plan vertical ; et parce que nous avons déja pour l’une de ces traces le point K, et pour l’autre le point G, il ne reste plus à déterminer qu’un seul point pour chacune d’elles.
Pour cela, et en opérant pour le premier des deux plans tangens, concevons que le point à construire soit celui dans lequel une horizontale menée
