perpendiculaire à L M. Si les deux points A et a n’étoient pas dans une même perpendiculaire à LM, les droites données ne se couperoient pas, et par conséquent ne seroient pas dans un même plan.
Solution. On concevra les deux droites données prolongées jusqu’à ce qu’elles rencontrent le plan horizontal, chacune en un point, et l’on construira ces deux points de rencontre. Pour cela on prolongera les droites a b, a c, jusqu’à ce qu’elles coupent L M en deux points d, e, qui seront les projections verticales de ces deux points de rencontre : par les points d, e, on mènera dans le plan horizontal, et perpendiculairement à L M, deux droites indéfinies d D, e E, qui, devant passer chacune par un de ces points, détermineront leurs positions par leurs intersections D, E avec les projections horizontales respectives A B, A C, prolongées s’il est nécessaire.
Cela fait, si l’on mène la droite D E, cette droite et les deux parties des droites données, comprises entre leur point d’intersection et les points D, E, formeront un triangle, dont l’angle opposé à D E sera l’angle demandé ; ainsi il ne s’agira plus que de construire ce triangle. Pour cela, après avoir abaissé du point A sur D E la perpendiculaire indéfinie A F, si l’on conçoit que le plan du triangle tourne autour de sa base D E comme charnière, jusqu’à ce qu’il soit abattu sur le plan horizontal ; le sommet de ce triangle, pendant son mouvement ne sortira pas du plan vertical mené par A F, et viendra s’appliquer quelque part sur le prolongement de F A en un point H, dont il ne restera plus à trouver que la distance à la base D E.
Or la projection horizontale de cette distance est la droite A F, et la hauteur verticale d’une de ses extrémités au-dessus de l’autre est égale à a G ; donc, en vertu de la fig. 3, si sur LM on porte A F de G en f, et si l’on mène l’hypoténuse a f, cette hypoténuse sera la distance demandée. Donc enfin, si l’on porte a f de F en H, et si par le point H on mène les deux droites H D, H E, le triangle sera construit, et l’angle D H E sera l’angle demandé.
21. Huitième question. Étant données les projections d’une droite et les traces d’un plan, construire l’angle que la droite et le plan forment entre eux ?
