certaine direction, comme la droite qui leur sert de génératrice. Le plan lui-même, qui est la plus simple des surfaces, est indéfini dans deux sens. Enfin il existe un grand nombre de surfaces dont les nappes multipliées s’étendent en même temps dans toutes les régions de l’espace. Or, les plans sur lesquels on exécute les projections ont nécessairement une étendue limitée. Si donc on n’avoit d’autre moyen pour faire connoître la nature d’une surface courbe, que les deux projections de chacun des points par lesquels elle passe, ce moyen ne seroit applicable qu’à ceux des points de la surface qui correspondroient à l’étendue des plans de projections ; tous ceux qui seroient au-delà ne pourroient être ni exprimés ni connus : ainsi la méthode seroit insuffisante. Enfin elle manqueroit de fécondité, parce qu’on ne pourroit en déduire rien de ce qui seroit relatif aux plans tangens de la surface, à ses normales, à ses deux courbures en chaque point, à ses lignes d’inflexion, à ses arêtes de rebroussement, à ses lignes, multiples, à ses points multiples, à toutes les affections enfin qu’il est nécessaire de considérer, dès qu’on veut opérer sur une surface courbe.
Il a donc fallu avoir recours à une convention nouvelle qui fût compatible avec la première, et qui pût la suppléer partout où elle auroit été insuffisante. C’est cette convention nouvelle que nous allons exposer.
12. Il n’y a aucune surface courbe qui ne puisse être regardée comme engendrée par le mouvement d’une ligne courbe, ou constante de forme lorsqu’elle change de position, ou variable en même temps et de forme et de position dans l’espace. Comme cette proposition pourroit être difficile à comprendre à cause de sa généralité, nous allons l’expliquer sur quelques-uns des exemples avec lesquels nous sommes déja familiarisés.
Les surfaces cylindriques peuvent être engendrées de deux manières principales, ou par le mouvement d’une ligne droite qui reste toujours parallèle à une droite donnée pendant qu’elle se meut, en s’appuyant toujours sur une courbe donnée, ou par le mouvement de la courbe qui servoit de conductrice dans le premier cas, et qui se meut de manière que, s’appuyant toujours par le même point sur une droite donnée, tous ses autres points décrivent des lignes parallèles à cette droite. Dans l’une et l’autre de ces deux générations, la ligne génératrice, qui est
