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parties élastiques, qu’autant que l’on considérera non-seulement les forces extérieures, mais encore les actions mutuelles qui s’exercent entre les parties du système ; actions qu’il est indifférent de considérer ou non, dans les systêmes où les points d’application des forces sont assujettis par de liens de longueur invariable, parce que les quantités d’actions qui en résultent donnent alors une somme nulle.

Nous remarquerons donc ici, d’une part, que la force vive de la tranche placée en $\alpha \beta$ est, au bout du temps $t,$ $\rho \omega dx.u^{2}\,;$ que cette force vive augmente dans l’élément du temps $dt$ de la quantité $\rho \omega dx.2udu\,;$ et par conséquent que l’on a

$\int \rho \omega dx.2udu$

pour l’accroissement de la force vive du fluide dans ce même intervalle de temps, l’intégrale étant prise depuis la section $\mathrm {AB}$ jusques à la section $\mathrm {CD} ,$ ou depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {MN} .$

D’autre part cette même tranche est soumise, par l’effet des actions mutuelles des tranches, à l’effort $\omega dp,$ qui la pousse en sens contraire de son mouvement : l’espace qu’elle parcourt dans le temps $dt$ est $udt.$ Par conséquent la quantité d’action imprimée à la tranche par l’effet de ces actions

de ce corps par le carré de sa vitesse actuelle ; et par force vive du système, la somme des produits semblables faits pour toutes les parties matérielles dont le système se compose. Nous désignons par quantité d’action impriméc par une force l’intégrale du produit de l’effort ou pression que la force exerce, par l’élément de l’espace que parcourt le point d’application dans la direction de cet effort ou pression.