au lieu de
et
ce qui donne
![{\displaystyle \int _{0}^{z}\left(\int _{\mu \theta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\theta ^{3}d\theta =\mu \int _{1}^{\infty }\left(\int _{0}^{z}e^{-\theta ^{2}\left(1+\mu ^{2}\right)}\theta ^{4}d\theta \right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4ac6c243861d1f3eab886abb8a8ae2e2add13a)
en intervertissant l’ordre des intégrations. À cause de la grandeur que
doit avoir, on peut, sans erreur sensible, étendre jusqu’à l’infini les intégrales relatives à
ce qui permet d’en obtenir les valeurs, et d’où il résulte
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {1}{2}}-{\frac {\lambda }{\sqrt {\pi }}}+{\frac {\lambda '}{\sqrt {\pi \left(1+\mu ^{2}\right)}}}+{\frac {\mu ^{2}\lambda '}{2{\sqrt {\pi }}\left(1+\mu ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {3\mu \lambda }{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{\left(1+\mu ^{2}t^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd77c6778866d55be0c4df7b88e00f0dbf644a)
ou bien, en effectuant l’intégration indiquée,
|
|
(n)
|
Cette valeur de
exprime la probabilité que la différence
surpasse la différence
ou qu’on a
![{\displaystyle p'-p>{\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f363ead9653f3e4bdbf23f0b70df7aa40abc1c89)
L’événement contraire est
![{\displaystyle p'-p<{\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}},\quad {\text{ou}}\quad p-p'>{\frac {s}{m}}-{\frac {s'}{m'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691d195e97ddce0abb6409c0caea19536b8fb578)
Sa probabilité se déduira donc de la même expression de
en y échangeant
et
et
c’est-à-dire, en échangeant
et
et mettant
à la place de
Ainsi, en la désignant par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} '={\frac {1}{2}}+{\frac {\mu \lambda -\lambda '}{\sqrt {\pi \left(1+\mu ^{2}\right)}}}+{\frac {\mu \lambda -\mu ^{2}\lambda '}{2{\sqrt {\pi }}\left(1+\mu ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed01eb0c507395700b30897d6d798814610be89)