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$\int _{0}^{1}\left[p+\omega +u(1-p-\omega )\right]^{s'}(1-u)^{m'-s'}du=\mathrm {H} h'\left(\int _{\mp k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+\lambda 'e^{-k^{2}}\right).$

On aura, de la même manière,

$\int _{0}^{1}(1-p)^{m'-s'}p'^{s'}dp'=(1-p-\omega )^{m'-s'-1}\mathrm {H} h'\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\,;$

et l’expression de $\mathrm {T}$ deviendra

$\mathrm {T} ={\frac {1}{\pi }}\int _{-z}^{z}\left(\int _{\mp k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+\lambda 'e^{-k^{2}}\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta ,$

(l)

où l’on devra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur devant la limite $k$ de l’intégrale relative à $t,$ selon que la quantité $h$ sera positive ou négative. Quant à la valeur de $k,$ elle sera la racine positive de la formule :

$k^{2}=s'\log .{\frac {s'}{m'(p+\omega )}}+(m'-s')\log .{\frac {m'-s'}{m'(q-\omega ),}}$

(m)

qui se déduit de l’équation (k), en prenant les logarithmes de ses deux membres, et observant que $p+q=1.$

(22) Dans le cas où l’on aura

$\omega ={\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}},$

la valeur de $h$ sera de même signe que $-\theta \,;$ par conséquent l’équation (l) deviendra

$\mathrm {T} ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{z}\left(\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta +{\frac {1}{\pi }}\int _{-z}^{0}\left(\int _{-k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)e^{-\theta ^{2}}\Theta d\theta$

$+{\frac {\lambda '}{\pi }}\int _{-z}^{z}e^{-\left(\theta ^{2}+k^{2}\right)}\Theta d\theta \,;$