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De plus $t=0$ répondant à $u=h,$ on devra prendre $t=-k$ ou $t=+k$ pour la valeur de $t$ relative à $u=0,$ selon que la quantité $h$ sera positive ou négative, c’est-à-dire, d’après les expressions de $h$ et de $p,$ selon qu’on aura

${\frac {s'}{m'}}-{\frac {s}{m}}-\omega >\quad {\text{ou}}\quad <\theta {\sqrt {\frac {2s(m-s)}{m^{3}}}}\,;$

et l’on aura en même temps

$\int _{0}^{1}\left[p+\omega +u(1-p-\omega )\right]^{s'}(1-u)^{m'-s'}du=\mathrm {H} \int _{\mp k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {du}{dt}}dt.$

La valeur de $u$ déduite de l’équation (i), s’exprimera par une série de la forme

$u=h+h't+h''t^{2}+h'''t^{3}+{\text{etc}}.,$

dont les coefficients $h',h'',''',$ etc., indépendants de $t,$ se détermineront comme dans le n^o  4, et seront très-petits de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {m'}}},{\frac {1}{m'}},{\frac {1}{m'{\sqrt {m'}}}},$ etc. On trouve, pour les valeurs des deux premiers,

$h'={\frac {1}{1-p-\omega }}{\sqrt {\frac {2s'(m'-s')}{m'^{3}}}},\qquad h''=\lambda 'h',$

en faisant, pour abréger,

${\frac {(m'-2s'){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {m's'(m'-s')}}}}=\lambda '.$

Si donc on néglige les termes multipliés par les quantités $h''',h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc., il en résultera