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$k^{2}={\frac {n+1}{2}}\alpha ^{2}+\alpha =\beta ^{2}+{\frac {2\beta }{\sqrt {2(n+1)}}},$

en faisant, pour abréger,

${\frac {n+1}{2}}\alpha ^{2}+\alpha =\beta ^{2},$

de sorte qu’on ait

$\beta =1{,}1979+\theta (0{,}2858).$

Le développement de ${\frac {1}{k}}$ suivant les puissances de $\theta ,$ ne serait pas une série assez convergente pour qu’on puisse employer, comme dans le n^o précédent, la formule (14) à la détermination de l’intégrale $\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\,;$ mais on aura

$k=\beta +{\frac {1}{\sqrt {2n}}}\,;$

par conséquent

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{\beta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {1}{\sqrt {2n}}}e^{-\beta ^{2}}\,;$

et si l’on met $\beta t$ et $\beta dt$ à la place de $t$ et $dt$ sous le signe $\int ,$ la première équation (11) deviendra

$\mathrm {X} ={\frac {\beta }{\sqrt {\pi }}}\int _{1}^{\infty }e^{-\beta ^{2}t^{2}}dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi n}}}e^{-\beta ^{2}}.$

C’est donc cette valeur de $\mathrm {X}$ que je substitue dans celle de $\mathrm {Q}$ à la place de $\Pi .$ J’étends ensuite les intégrales relatives à $\theta$ depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty ,$ ce qui est permis, à cause de la grandeur des exposants $\beta ^{2}t^{2}+\theta ^{2}$ et $\beta ^{2}+\theta ^{2}$ aux deux limites