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et égale à ${\frac {1}{m}}\sum p_{i}$ dans tous les tirages. Mais on peut aussi s’en assurer, en observant que cette valeur ne peut être qu’une fonction linéaire de $p_{1},p_{2},$ etc., symétrique à l’égard de ces $m$ quantités ; on peut donc la représenter par $p=\mu \sum p_{i},$ $\mu$ étant un coefficient indépendant de $p_{1},p_{2},$ etc. ; dans le cas où ces $m$ quantités sont égales entre elles, on aura donc $p=m\mu p_{i'},$ et comme alors on doit avoir $p=p_{i},$ il faut que le produit $m\mu$ soit l’unité ; d’où il résulte $p={\frac {1}{m}}\sum p_{i},$ quels que soient $p_{1},p_{2},$ etc.

Ainsi, lorsque la proportion des boules blanches et noires sera donnée pour chaque urne en particulier, on calculera, par les formules des n^os 6 et 8, la probabilité que le nombre des arrivées d’une boule blanche n’excédera pas un nombre donné, ou sera compris entre des limites données, en mettant, dans ces formules, à la place de $p,$ la moyenne de ses valeurs relatives à toutes les urnes. Réciproquement, si cette proportion est inconnue, et que la probabilité $p$ soit susceptible de toutes les valeurs possibles pour chacune des urnes, les limites (b) du n^o  14 et leur probabilité répondront à la moyenne des valeurs inconnues de $p$ pour toutes les urnes, et les formules du n^o 16 feront connaître les limites des arrivées de $\mathrm {A}$ et leur probabilité, quand les tirages auront lieu dans le même système d’urnes, ou dans un autre système pour lequel la moyenne des valeurs de $p$ soit supposée la même que pour le premier.

C’est à ce cas des urnes différentes qu’il faut assimiler les questions relatives aux naissances des filles et des garçons. L’événement $\mathrm {A}$ sera la naissance d’un garçon dont la probabilité $p$ est susceptible de toutes les valeurs possibles depuis zéro jusqu’à l’unité. Quand on considère les naissances des