Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/527

si l’urne dans laquelle s’est fait le premier, répond à $p_{i'}\,;$ mais cette urne ayant été prise au hasard, il faudra dans cette expression, donner à $i'$ toutes les valeurs depuis $i'=1$ jusqu’à $i'=m,$ prendre la somme des résultats, et diviser par $m,$ pour avoir la seconde probabilité de $\mathrm {A} ,$ qui sera alors

${\frac {m\sum p_{i}-\sum p_{i'}}{m(m-1)}},$

quantité encore égale à ${\frac {1}{m}}\sum p_{i}.$ Au troisième tirage, la probabilité de $\mathrm {A}$ sera

${\frac {\sum p_{i}-p_{i'}-p_{i''}}{m-2}},$

si le premier et le second ont eu lieu dans les urnes qui répondent respectivement à $p_{i'}$ et $p_{i''}\,;$ à cause que ces deux urnes ont été prises au hasard, il faudra d’abord, sans faire varier $i',$ donner à $i''$ toutes les valeurs depuis l’unité jusqu’à $m,$ excepté $i',$ et diviser la somme des résultats par le nombre de ces valeurs ou par $m-1,$ ce qui donne

${\frac {(m-1)\sum p_{i}-(m-1)p_{i'}-\sum p_{i''}+p_{i'}}{(m-1)(m-2)}},$

quantité qui se réduit à

${\frac {\sum p_{i}-p_{i'}}{m-1}},$

à cause de $\sum p_{i''}=\sum p_{i}.$ Il faudra ensuite donner à $i'$ toutes les valeurs depuis $i'=1$ jusqu’à $i'=m,$ et diviser par $m$ la somme des résultats ; d’où il résultera ${\frac {1}{m}}\sum p_{i}$ pour la probabilité de $\mathrm {A}$ au troisième tirage, comme aux deux premiers. En continuant ainsi, on verra que la valeur de $p$ sera la même