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probabilité $\mathrm {U}$ très-peu différente de l’unité, en prenant $u=z$ ou $>z.$

Si le nombre $n$ est très-petit par rapport à $m,$ et seulement d’une grandeur comparable à ${\sqrt {m}},$ la quantité $\alpha$ sera de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {m}}},$ et l’on devra remplacer le facteur $1+\alpha ^{2}$ par l’unité dans les formules précédentes ; ce qui réduit les limites (g) à

$\mathrm {N} \pm {\frac {u}{m}}{\sqrt {2(n+1)(m-s)s}},$

et leur probabilité à

$\mathrm {U} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {me^{-u^{2}}}{\sqrt {2\pi n(m-s)s}}}.$

Or, ce résultat coïncide avec celui du n^o 8, quand on fait, dans les formules de ce numéro,

$p={\frac {s}{m}},\qquad q={\frac {m-s}{m}}.$

Lors donc que le nombre $n$ des événements futurs est trèspetit eu égard au nombre $m$ des événements observés, les limites du nombre de fois que $\mathrm {A}$ arrivera et leur probabilité pourront se calculer en prenant pour la probabilité $p$ de $\mathrm {A} ,$ le rapport ${\frac {s}{m}}$ du nombre de fois que cet événement est arrivé au nombre total des observations, comme si cette valeur de $p$ était certaine et donnée à priori. Mais il n’en est pas ainsi quand les deux nombres $n$ et $m$ sont du même ordre de grandeur : quoique la valeur de $p$ conclue de l’expérience, soit comprise, avec une probabilité qui diffère très-peu de la cer-