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écrite ainsi :

$x={\frac {(n+1)s}{m}}-{\frac {\beta }{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}.$

Désignons par $\gamma '$ une seconde quantité positive, égale ou supérieure à $z,$ et par $\beta '$ et $\Gamma ',$ ce que deviennent $\beta$ et $\Gamma ,$ quand on y met $\gamma '$ au lieu de $\gamma .$ En substituant $-\gamma '$ à $\gamma$ dans l’équation $(f),$ et faisant usage de la seconde formule (10), on trouvera, par une analyse semblable à la précédente

$\mathrm {Q} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\beta '}^{\infty }e^{-v^{2}}dv+\Gamma ',$

pour la probabilité que le nombre de fois dont il s’agit n’excédera pas la valeur de $x$ exprimée par la formule :

$x={\frac {(n+1)s}{m}}+{\frac {\beta '}{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}.$

Donc, en appelant $\mathrm {U}$ l’excès de cette seconde valeur de $\mathrm {Q}$ sur la première, nous aurons

$\mathrm {U} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\beta }^{\infty }e^{-v^{2}}dv-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\beta '}^{\infty }e^{-v^{2}}dv-\Gamma +\Gamma '\,;$

et $\mathrm {U}$ exprimera la probabilité que sur un nombre $n$ d’épreuves, ce nombre de fois n’excédera pas la seconde valeur de $x$ et surpassera la première au moins d’une unité.

(16) Pour comparer ce résultat à celui du n^o 8, désignons par $\mathrm {N}$ le plus grand nombre entier contenu dans ${\frac {ns}{m}},$ par $f$ la différence ${\frac {ns}{m}}-\mathrm {N} ,$ et par $u$ une quantité positive, telle que ${\frac {u}{m}}{\sqrt {2(n+1)\left(1+\alpha ^{2}\right)(m-s)s}}$ soit un nombre entier, très-petit