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sensible, les intégrales relatives à $\theta$ depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty .$ On aura alors

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(\gamma +\theta )^{2}\alpha ^{2}t^{2}-\theta ^{2}}(\gamma +\theta )d\theta ={\frac {\gamma {\sqrt {\pi }}}{\left(1+\alpha ^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {\gamma ^{2}\alpha ^{2}t^{2}}{1+\alpha ^{2}t^{2}}}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(\gamma +\theta )^{2}\alpha ^{2}-\theta ^{2}}d\theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}e^{\frac {\gamma ^{2}\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}},\end{aligned}}$

et par conséquent

$\mathrm {Q} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{1}^{\infty }e^{-{\frac {\gamma ^{2}\alpha ^{2}t^{2}}{1+\gamma ^{2}\alpha ^{2}}}}{\frac {\gamma \alpha dt}{\left(1+\alpha ^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\Gamma ,$

en faisant, pour abréger,

${\frac {\gamma \alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}=\beta ,\qquad {\frac {(m+s){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {ns(m-s)\left(1+\alpha ^{2}\right)}}}}e^{-\beta ^{2}}=\Gamma .$

Soit enfin

${\frac {\gamma \alpha t}{\sqrt {1+\alpha ^{2}t^{2}}}}=v,\qquad {\frac {\gamma \alpha dt}{\left(1+\alpha ^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=dv\,;$

à la limite $t=1,$ on aura $v=\beta \,;$ à l’autre limite $t=\infty ,$ on aura $v=\gamma ,$ et l’on pourra prendre $v=\infty ,$ à cause de $\gamma =z$ ou $>z\,;$ il en résultera donc

$\mathrm {Q} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\beta }^{\infty }e^{-v^{2}}dv+\Gamma ,$

pour la probabilité que sur un nombre $n$ d’épreuves, l’événement $\mathrm {A}$ arrivera un nombre de fois qui n’excédera pas la valeur de $x$ tirée de l’équation $(f),$ laquelle valeur peut être