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et l’on pourra négliger la différence $1-\mathrm {Z} .$ De cette manière la probabilité de $\mathrm {C} '$ sera

$\mathrm {Q} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-z}^{z}\Pi e^{-\theta ^{2}}\left(1+{\frac {2g''\theta ^{3}}{g'}}\right)d\theta \,;$

(e)

$\Pi$ désignant la probabilité du même événement qui aurait lieu si la valeur précédente de $p$ était certaine, ou ce que devient la fonction $\mathrm {V} '$ du numéro précédent quand on y remplace la variable $v$ par cette valeur de $p.$

(15) Prenons pour $\mathrm {C} '$ l’événement auquel se rapportent les formules (10), c’est-à-dire, le cas où, sur un nombre $n$ d’épreuves, l’événement $\mathrm {A}$ arrivera un nombre de fois qui ne surpassera pas $x,$ les deux parties $x$ et $n-x$ de $n$ étant supposées de très-grands nombres. Nous donnerons plus bas des exemples dans lesquels les deux rapports ${\frac {x}{n+1}}$ et ${\frac {s}{m}}$ ne seront pas très-peu différents l’un de l’autre ; maintenant nous allons supposer que leur différence soit très-petite et de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {m}}}\,;$ et nous la représenterons par $\gamma g',$ en sorte qu’on ait

${\frac {x}{n+1}}={\frac {s}{m}}-\gamma g',$

(f)

$\gamma$ désignant une fraction ou un nombre peu considérable.

D’après l’équation (c), nous aurons

${\begin{aligned}&x=p(n+1)-(\gamma +\theta )(n+1)g',\\&n+1-x=q(n+1)+(\gamma +\theta )(n+1)g'\,;\end{aligned}}$

d’où l’on conclut

${\frac {p}{q}}={\frac {x}{n+1-x}}+{\frac {(\gamma +\theta )(n+1)g'}{(n+1-x)^{2}}},$