Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/512

$\mathrm {C} ,$ en sorte que $\mathrm {V} _{n}$ désigne la probabilité de $\mathrm {C}$ en fonction de $v_{n}$ qui aurait lieu s’il était certain qu’on eût $p=v_{n}.$ Par hypothèse, l’événement composé $\mathrm {C}$ a été observé ; et l’on demande la probabilité $\mathrm {R} _{n}$ que son arrivée répond à la probabilité $v_{n}$ de l’événement simple $\mathrm {A} .$

Pour déterminer $\mathrm {R} _{n},$ je suppose qu’on réduise toutes les fractions $\mathrm {V} _{1},\mathrm {V} _{2},$ etc., au même dénominateur, et qu’on les remplace par

$\mathrm {{\frac {N_{1}}{\mu }},{\frac {N_{2}}{\mu }},{\frac {N_{3}}{\mu }}} ,\ldots {\frac {\mathrm {N} _{n}}{\mu }},\ldots {\frac {\mathrm {N_{m}} }{\mu }},$

$\mu ,\mathrm {N_{1},N_{2}} ,$ etc., étant des nombres entiers. La question proposée est évidemment la même que si l’on avait un nombre $m$ d’urnes, contenant chacune le nombre $\mu$ de boules ; dont la première renfermât le nombre $\mathrm {N} _{1}$ de boules blanches, la seconde en contînt un nombre $\mathrm {N} _{2},$ la troisième un nombre $\mathrm {N} _{3}$ et ainsi de suite ; que l’on eût extrait une boule blanche de ces vases, et que l’on demandât la probabilité que cette boule est sortie de la $n$^ème urne. L’extraction d’une boule blanche est le fait observé, ou l’événement $\mathrm {C} ,$ et la sortie de la $n$^ème urne est le cas où ce fait coïncide avec l’hypothèse $p=v_{n}$ qui donne à $\mathrm {C}$ une probabilité ${\frac {\mathrm {N} _{n}}{\mu }},$ ou $\mathrm {V} _{n}.$

Cela posé, marquons les boules de la première urne, du n^o 1 ; celles de la deuxième urne, du n^o 2 ; etc. Puisque le nombre des boules est le même et égal à $\mu$ pour les différents numéros, il est évident qu’on peut les réunir toutes dans un même vase, sans rien changer à la probabilité d’amener une boule blanche portant le n^o n, ou provenant de la $n$^ème urne. Or, si l’on fait