Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/504

pour la probabilité que l’événement $\mathrm {A}$ arrivera un nombre de fois qui n’excédera pas la seconde valeur de $x,$ et surpassera la première au moins d’une unité.

(8) Pour simplifier ce résultat, soit $\mathrm {N}$ le plus grand nombre entier contenu dans $np,$ et $f$ une fraction telle que l’on ait $np=\mathrm {N} +f\,;$ désignons par $u$ une quantité telle que $u{\sqrt {2(n+1)pq}}$ soit un nombre entier, très-petit par rapport à $\mathrm {N} \,;$ faisons ensuite

${\begin{aligned}p+f-r\;{\sqrt {2(n+1)pq}}&=-u{\sqrt {2(n+1)pq}}-1,\\p+f+r'{\sqrt {2(n+1)pq}}&=u{\sqrt {2(n+1)pq}}\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {U}$ exprimera la probabilité que le nombre de fois dont il s’agit sera contenu entre les limites

$\mathrm {N} \pm u{\sqrt {2(n+1)pq}},$

équidistantes de $\mathrm {N} ,$ ou qu’il sera égal à l’une d’elles. Les valeurs de $r-\delta$ et $r'+\delta '$ seront de la forme :

${\begin{aligned}&r-\delta =u+\varepsilon +{\frac {1}{\sqrt {2(n+1)pq}}},\\&r'+\delta '=u-\varepsilon \,;\end{aligned}}$

$\varepsilon$ étant une quantité de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {n}}}.$ Or, en désignant par $v$ une quantité de cet ordre, dont on néglige le carré, on a

$\int _{u+v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-e^{-u^{2}}v\,;$

si donc on applique cette transformation aux deux intégrales que renferme $\mathrm {U} ,$ et si l’on fait $r'=r$ dans les termes compris hors du signe $\int ,$ qui sont déjà divisés par ${\sqrt {n}},$ on aura