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$k={\sqrt {\frac {2}{n}}},\qquad e^{-k^{2}}=1,\qquad \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\sqrt {\frac {2}{n}}}\,;$

ce qui réduit à ${\frac {1}{2}},$ la valeur précédente de $\mathrm {X} .$

(7) De l’équation ${\frac {p}{q}}=h,$ on tire

$x=(n+1)p,\qquad n+1-x=(n+1)q,$

à cause de $p+q=1.$ Désignons par $z$ une quantité positive, telle que cette valeur de $x$ diminuée de $z$ soit un nombre entier ; nous pourrons prendre

$x=(n+1)p-z,\qquad n+1-x=(n+1)q+z\,;$

et nous aurons ${\frac {p}{q}}>h.$ En développant le second inembre de l’équation (6) suivant les puissances de $z,$ on trouve

$k^{2}={\frac {z^{2}}{2(n+1)pq}}\left(1-{\frac {(p-q)z}{3pq(n+1)}}+{\text{etc}}.\right)\,;$

et si l’on fait

$z=r{\sqrt {2(n+1)pq}},$

on en déduit

$k=r\left(1-{\frac {(p-q)r}{3{\sqrt {2(n+1)pq}}}}+{\text{etc}}.\right).$

La série comprise entre les parenthèses procède suivant les puissances de ${\frac {r}{\sqrt {n+1}}}\,;$ elle sera très-convergente si $r$ n’est pas un très-grand nombre, et qu’aucune des deux fractions $p$ et $q$ ne soit très-petite ; on pourra alors ne conserver que ses deux premiers termes, ou prendre simplement $k=-r-\delta ,$ en faisant,

${\frac {(p-q)r^{2}}{3{\sqrt {2(n+1)pq}}}}=\delta .$