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$\mathrm {P} ={\sqrt {\frac {2}{\pi n}}},$

ce qui coïncide effectivement avec la formule (1), quand on y fait $p={\frac {1}{2}},$ $q={\frac {1}{2}},$ $x={\frac {n}{2}}.$

Si $n$ est un nombre impair, que l’on fasse $x={\frac {1}{2}}(n-1),$ et qu’on suppose toujours $p>q\,;$ on aura encore ${\frac {p}{q}}>h\,:$ la première formule (10) et l’équation (6) deviendront

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\pi n}}}e^{-k^{2}},\\k^{2}&={\frac {n-1}{2}}\log .{\frac {n-1}{2p(n+1)}}+{\frac {n+3}{2}}\log .{\frac {n+3}{2q(n+1)}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad (12)$

et $\mathrm {X}$ sera la probabilité que sur un très-grand nombre d’épreuves, l’événement le plus probable se présentera moins souvent que l’événement contraire ; car, $n$ étant impair, le cas de l’égalité sera impossible. Dans le cas de $p=q={\frac {1}{2}},$ cette probabilité $\mathrm {X}$ devra être égale à ${\frac {1}{2}}\,;$ et c’est aussi ce que nous allons vérifier.

Nous aurons

${\begin{alignedat}{2}(n-1)\log .{\frac {n-1}{n+1}}&=-(n-1)\log .\left(1+{\frac {2}{n-1}}\right)&&=-2+{\frac {2}{n-1}}-{\text{etc}}.,\\(n+3)\log .{\frac {n+3}{n+1}}&=-(n+3)\log .\left(1-{\frac {2}{n+3}}\right)&&=\quad 2+{\frac {2}{n+3}}+{\text{etc}}.,\\\end{alignedat}}$

et par conséquent

$k^{2}={\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n+3}}+{\text{etc}}.$

En négligeant les termes de l’ordre de ${\frac {1}{n}},$ il en résultera