Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/500

ves, l’événement le plus probable n’arrivera cependant pas plus souvent que l’événement contraire. En appelant $\mathrm {P}$ la probabilité qu’ils arriveront l’un et l’autre le même nombre de fois, ce qui est possible, puisque $n$ est un nombre pair, $\mathrm {X-P}$ sera la probabilité que le premier événement arrivera moins souvent que le second. Dans le cas de $p=q={\frac {1}{2}},$ il est évident que le double de cette dernière probabilité, ajouté à $\mathrm {P} ,$ sera la certitude ; on aura donc $2\mathrm {X-P} =1,$ ou

$\mathrm {P} ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi n}}}e^{-k^{2}}\,;$

et c’est, en effet, ce que l’on peut facilement vérifier.

En réduisant en série, on a

$n\log .{\frac {n}{n+1}}=-n\log .\left(1+{\frac {1}{n}}\right)=-1+{\frac {1}{2n}}-{\text{etc}}.,$

$(n+2)\log .{\frac {n+2}{n+1}}=-(n+2)\log .\left(1-{\frac {1}{n+2}}\right)=1+{\frac {1}{2(n+2)}}+etc.,$

et par conséquent

$k^{2}={\frac {1}{4n}}+{\frac {1}{4(n+2)}}+{\text{etc}}.\,;$

donc en ne conservant que les termes de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {n}}},$ aurons

$k={\frac {1}{\sqrt {2n}}},\qquad e^{-k^{2}}=1\,;$

nous aurons, en même temps,

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-\int _{0}^{k}e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {1}{\sqrt {2n}}}\,;$

d’où il résultera