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férentes formules, les quantités $h''',h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ etc. En mettant $n$ à la place de $n+1$ dans les valeurs de $h'$ et $h'',$ on aura

${\frac {h''}{h'}}={\frac {(n+x){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {nx(n-x)}}}}\,;$

l’équation (3) et les formules (5), (7) et (8) donneront ensuite

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(n+x){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi nx(n-x)}}}}e^{-k^{2}},\\\mathrm {X} &=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(n+x){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi nx(n-x)}}}}e^{-k^{2}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad (10)$

la première ou la seconde de ces deux valeurs de $\mathrm {X}$ ayant lieu selon que l’on a ${\frac {p}{q}}>$ ou $<h,$ et $k$ étant une quantité positive, donnée par l’équation (6). Ces formules feront connaître avec une exactitude suffisante la probabilité $\mathrm {X}$ qu’il s’agissait de déterminer.

Si $n$ est un nombre pair, que l’on fasse $x={\frac {n}{2}},$ et qu’on suppose $p>q,$ on aura

$h={\frac {n}{n+2}},\qquad {\frac {p}{q}}>h\,;$

ce sera donc la première équation (10) qu’il faudra employer : cette formule et l’équation (6) deviendront

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {2}{\pi n}}}e^{-k^{2}},\\k^{2}&={\frac {n}{2}}\log .{\frac {n}{2p(n+1)}}+{\frac {n+2}{2}}\log .{\frac {n+2}{2q(n+1)}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad (11)$

et $\mathrm {X}$ sera la probalité que sur un très-graud nombre $n$ d’épreu-