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négative. En regardant donc $k$ comme une quantité positive, on prendra $t=k,$ dans le cas de $\alpha >h,$ et $t=k$ lorsqu’on aura $\alpha <h.$ Dans le premier cas, on aura

$\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy=\mathrm {H} \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dy'}{dt}}dt,$

et dans le second

$\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} dy-\mathrm {H} \int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}{\frac {dy'}{dt}}dt.$

On a d’ailleurs k

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=-\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt,\\&\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i}dt=\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt\,;\end{aligned}}$

$i$ étant un nombre entier et positif, ou zéro. Si donc on fait généralement

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt=\mathrm {K} _{i},\quad \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=\mathrm {K} '_{i},$

il en résultera

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy=&\mathrm {H} (h'\mathrm {K} _{0}+3h'''\mathrm {K} _{1}+5h^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\mathrm {K} _{2}+{\text{etc}}.)\\&+\mathrm {H} (2h''\mathrm {K} '_{0}+4h^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\mathrm {K} '_{1}+6h^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\mathrm {K} '_{2}+{\text{etc}}.),\end{aligned}}$

(7)

pour le cas de $\alpha$ ou ${\frac {p}{q}}>h,$ et