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et en ayant égard à la valeur de $h,$ on en déduit

${\begin{aligned}h'&={\sqrt {\frac {2(n+1)x}{(n+1-x)^{3}}}},\\h''&={\frac {2(n+1+x)}{3(n+1-x)^{2}}},\\{\text{etc}}.&\end{aligned}}$

Si les nombres $x,\,n-x,\,n,$ sont très-grands, et du même ordre de grandeur, il est aisé de voir que les valeurs de $h',h'',h''',$ etc., formeront une série très-rapidement décroissante dont le premier terme sera du même ordre de petitesse que la fraction ${\frac {1}{\sqrt {n}}},$ le second de l’ordre de ${\frac {1}{n}},$ le troisième de l’ordre de ${\frac {1}{n{\sqrt {n}}}},$ et ainsi de suite ; ce qui pourra dispenser de former ces valeurs au-delà des deux premières que nous venons de donner.

En désignant par $i$ un nombre entier et positif quelconque, on aura

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=0,\\&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt={\frac {1.3.5\ldots 2i-1}{2^{i}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt.\end{aligned}}$

Donc, à cause de

${\frac {dy'}{dt}}=h'+2h''t+3h'''t^{2}+{\text{etc}}.,$

et en observant que

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }},\qquad \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {Y} dy=\mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dy'}{dt}}dt,$